2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案
一、填空题（每小题8分，满分64分）
1、已知sin??cos?,cos??sin2?，则sin2??cos2??_______. 解：0或.
已知两式平方相加，得sin2??0或cos2??321. 43sin2??cos2??2sin2??0或.
2
2、不等式x6?(x?2)?(x?2)3?x2的解集为_________. 解：(??,?1)?(2,??).
原不等式等价于x6?x2?(x?2)3?(x?2). 设f(x)?x3?x，则f(x)在R上单调增.
所以，原不等式等价于f(x2)?f(x?2)?x2?x?2?x??1或x?2.
3、已知错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。表示不超过x的最大整数)，设方程
1?2012x?{x}的两个不同实数解为x1,x2，则20132?(x1?x2)?__________. 2013解：?2011.
111?x?. ?(0,1)，所以2012x?(?1,1)??由于{x}?[0,1),20122012201311?x?0时，原方程即?2012x?1?x?20132x1??2012； 当?2012201311?2012x?x?20132x2?1. 当0?x?时，原方程即
20122013
4、在平面直角坐标系中，设点A(x,y)(x,y?N*)，一只虫子从原点O出发，沿x轴
正方向或y轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达终点A的不同路线数目记为f(x,y). 则f(n,2)?_______.
解：
1(n?1)(n?2). 2111f(1,2)?3??2?3,f(2,2)?6??3?4,f(3,2)?10??4?5.
2221(n?1)(n?2)，可归纳证明. 2猜测f(n,2)?
5、将一只小球放入一个长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径为___________.
解：3或11.
分别以三个面两两的交线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设点P坐标为(4,5,5)，小球圆心O坐标为(r,r,r).
222所以，(r?4)?(r?5)?(r?5)?r?r?3或11. 6、将
2013n?1(n?N*)型分数的乘积的不同方法数是________.（其中表示成两个
2012nab与ba是同一种表示方法）
解：24.
设p,q是正整数，满足
2013p?1q?12012?2013???p?2012?. 2012pqq?20122012?2013?22?3?11?61?503的正因数的个数为(1?2)?(1?1)4?48.
注意到(p,q)(p?q)与(q,p)是相同的表示方法，故所求的方法数为24.
7、设E为正方形ABCD边AB的中点，分别在边AD、BC上任取两点P、Q，则∠PEQ为锐角的概率为__________.
解：
3?ln4. 4设正方形边长为1，AP?x,BQ?y.
????????????????????????????????????????1则EP?EQ?(EA?AP)?(EB?BQ)?EA?EB?AP?BQ?xy??0.
41从而，xy?. 又0?x?1,0?y?1.
41故所求概率为两直线x?1,y?1及曲线xy?所围成图形的面积与边长为1的正方形
411??33ln42的面积之比，即??1??1:1??. ?44x44?4?
8、已知实系数一元二次方程ax?bx?c?0有实根，则使得
(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?ra2 成立的正实数r的最大值为____________.
29. 82不妨设a?1，方程x?bx?c?0的两实根为x1,x2.
解：rmax?由韦达定理，b??x1?x2,c?x1x2.
?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?(1?b)2?(b?c)2?(c?1)2
?(1?x1?x2)2?(x1?x2?x1x2)2?(x1x2?1)2
2?2(x12?x1?1)(x2?x2?1)
13139?2[(x1?)2?]?[(x2?)2?]?.
24248从而，r?91，当x1?x2??时等号成立. 82
二、解答题（第一道小题满分16分，后两道小题每题满分20分）
9、已知数列{an}的各项均为正数，a1?1,a2?3，且对任意n?N*，都有
2?，使得an?an?2??an?1对任意n?N*都成立？ an?1?anan?2?2．问：是否存在常数
2n?1，得a3?7. 解：在an?1?anan?2?2中，令
8若存在常数?使得an?an?2??an?1，则a1?a3??a2???.
322*∵an?1?anan?2?2，∴an?an?1an?1?2(n?2,n?N).
2222∴an?1?an?anan?2?an?1an?1?an?1?an?1an?1?an?anan?2.
由于an?0，上式两边同除以anan?1，得所以，
an?1?an?1an?an?2?(n?2).
anan?1an?an?2an?1?an?1a?a38????1?.
an?1ana238即存在常数??，使得an?an?2??an?1对任意n?N*都成立.
3
x26610、已知两点C(?,0),D(,0)，设A，B，M是椭圆?y2?1上三点，满足
422?????3????4????OM?OA?OB，点N为线段AB的中点，求|NC|?|ND|的值.
552x12x222解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则?y1?1,?y2?1. ①
44?????3????4????3434由OM?OA?OB，得M(x1?x2,y1?y2).
55555534(x1?x2)2x22342 ② ∵M在椭圆?y?1上，55??(y?y)?1.124455综合①②得，
x1x2?y1y2?0. 4x1?x2y1?y2,)， 22又线段AB的中点为N(x1?x22)2y1?y221x121x21xx ∴222?()?(?y1)?(?y2)?(12?y1y2)42444424(111
???.442x266上式表明，点N在椭圆?2y2?1上，且该椭圆两焦点恰为C(?,0),D(,0)两
222点.
所以，由椭圆定义有|NC|?|ND|?22.
11、已知m?n(m,n?N*)，两个有限正整数集合A,B满足：|A|?|B|?n,|A?B|?m（这里用|X|表示集合X的元素个数）.平面向量集{uk,k?A?B}满足
??u?i?i?A2. ?m?nk?A?Bj?B证明：不妨设A?{1,2,?,n},B?{n?m?1,n?m?2,?,2n?m}. 令a1?a2???an?m?an?1?an?2???a2n?m?1, an?m?1?an?m?2???an?4.
?u?j?1. 证明：
?|uk|2?由柯西不等式，
2n?m
i注意到从而，
?ai?1?2(n?m)?4m?2(n?m).
2. m?nk?A?B??22n?m?2|uk|??|ui|?i?1
2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案
