第五讲
补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法
偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。
解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数
一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题
对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题
（第六讲）
§2.1 有界弦的自由振动
什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。
定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为
2?2u2?u?a, 0?x?l, t?0,22?t?xux?0?0, ux?l?0, t?0,
ut?0??(x), utt?0??(x), 0?x?l. 分析：
1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。
2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，
由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。 启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。
由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：
u(x,t)?X(x)T(t)
的非零解。
将u(x,t)代入方程，可得
X''(x)T''(x) X(x)T(t)?aX(x)T(t)??X(x)a2T(x)''2''此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与x,t无关的常数。设为??，则有
X''(x)T''(x) ????X(x)a2T(x)??T(t)??aT(t)?0,??''??X(x)??X(x)?0.''2
将边界条件代入u(x,t)得
X(0)T(t)?X(l)T(t)?0,
此时，必有
X(0)?X(l)?0,
这就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的第一步：分离变量 目标：分离变量形式的解u(x,t)?X(x)T(t)
结果：得到函数X(x)满足的常微分方程和边界条件以及T(t)满足的常微分方程，
X''(x)??X(x)?0,X(0)?X(l)?0. 条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的
现在我们求解函数X(x)满足的常微分方程定解问题。我们发现：方程中含有待定常数?，定解条件是齐次边界条件，与一般的常微分方程的初值问题不同： 并非对任一的?，都有既满足齐次方程有满足边界条件的非零解； 只有当?取某些特定值时，才有既满足方程又满足边界条件的非零解。 有非零解的?称为该问题的特征值 相应的非零解称特征函数
而X(x)满足的常微分方程的定解问题称特征值问题。
第二步：求解特征值问题
1) 若??0，方程的通解形式为
X(x)?Ae??x?Be???x
由定解条件知A?0,B?0，从而X(x)?0，不符合要求。 2) 若??0，方程的通解形式为
X(x)?Ax?B
由边界条件知A?0,B?0，从而X(x)?0，不符合要求。
数学物理方程第二章分离变量法
