《数学分析》教案
第十二章 数项级数
教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。
教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。
教学时数：18学时
§ 1 级数的收敛性
一． 1．
概念 ：
级数 ：级数 ，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第 项 ), 前
项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为
.
2.
级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的
极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 .
例1 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！）
解 时, . 级数收敛 ;
时, 级数发散 ;
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时,
,
, 级数发散 ;
时, , , 级数发散 .
综上, 几何级数 0开始 ).
当且仅当 时收敛, 且和为
( 注意 从
例2 讨论级数 的敛散性.
解（利用拆项求和的方法）
例3 讨论级数
的敛散性.
解 设 ,
,
=
, .
, .
因此, 该级数收敛.
例4 讨论级数
的敛散性.
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解 3.
级数与数列的关系 :
},
收敛
{
}收敛;
,
. 级数发散.
对应部分和数列{
对每个数列{ 于是,数列{
}, 对应级数
, 对该级数, 有 收敛.
=
.
}收敛 级数
可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系 :
, 其中 . 无穷积分可化为级数 ;
对每个级数, 定义函数 , 易见有
=
. 即级数可化为无穷积分.
综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 .
二. {
级数收敛的充要条件 —— Cauchy准则 ：把部分和数列
}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的Cauchy准
则 .
Th ( Cauchy准则 )
.
收敛
和
N,
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由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前 项的级数表为
或
.
系 ( 级数收敛的必要条件 ) 收敛
.
例5 证明：级数
收敛 .
证 显然满足收敛的必要条件 . 令 , 则当 时有
应用Cauchy准则时，应设法把式 |
的式子，令其小于 ，确定
|不失真地放大成只含 而不含
.
例6 判断级数
( 验证
的敛散性.
. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )
例7 ( 但级数发散的例 ) 证明调和级数
发散 .
证法一 ( 用Cauchy准则的否定进行验证 ) 三． 收敛级数的基本性质：（ 均给出证明 ） 性质1
收敛， — Const
收敛且有
=
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性质2
和
收敛 ，
收敛, 且有
=
.
性质3 若级数变 .
收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不
§ 2 正项级数
一. 正项级数判敛的一般原则 :
1. 2.
正项级数 : 基本定理 :
收敛
↗; 任意加括号不影响敛散性.
Th 1 设 散时, 有
3.
. 则级数,
. 且当
发
. ( 证 )
正项级数判敛的比较原则 : 和
是两个正项级数 , 且
时有
,
Th 2 设则
ⅰ> 收敛,
收敛;
ⅱ> 发散,
发散.( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )
例1 考查级数
的敛散性 .
解 有
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数学分析 数项级数汇编
