2021届数学一轮复习
[练案34]第二讲 等差数列及其前n项和
A组基础巩固
一、单选题
1.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=( D ) A.12 C.16
[解析] 由a2=2,a3=4知d=
B.14 D.18
4-2
=2. 3-2
所以a10=a2+8d=2+8×2=18.故选D.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a2 018=1,则S2 020=( C ) A.22 020 C.1 010
B.2 021 D.21 010
[解析] 因为{an}为等差数列,a3+a2 018=1,所以a1+a2 020=a3+a2 018=1,所以S2 020=
?a1+a2 020?×2 020
=1 010,故选C.
2
3.已知数列{an}为等差数列,a2+a3=1,以a10+a11=9,则a5+a6=( A ) A.4 C.6
B.5 D.7
[解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a2+a3=1,a10+a11=9,所以2a1
1111
+3d=1,2a1+19d=9,解得a1=-,d=,所以a5+a6=2a1+9d=-2×+9×
4242=4.
1
另解:a10+a11-(a2+a3)=16d=8?d=,所以a5+a6=a2+a3+6d=1+3=
24.故选A.
4.(2020·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( B )
A.1升
B.67
升 66
坚持就是胜利!
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C.
47
升 44
D.
37升 33
[解析] 设该等差数列为{an},公差为d, ?a1+a2+a3+a4=3,
由题意得?
?a7+a8+a9=4,13?a=,?22解得?
7??d=66.
1
?4a1+6d=3,
即?
?3a1+21d=4,
∴a5=
13767
+4×=.故选B. 226666
1
,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的25
5.一个等差数列的首项为公差d的取值范围是( D )
A.d>C.
8
75
B.d 3 25 83 ?a10>1, [解析] 由题意可得? ?a9≤1, 1??25+9d>1,即?1??25+8d≤1, 解得 83 6.(2020·辽宁五校联考)已知等差数列{an}的公差为d,且a8+a9+a20=24,则a1d的最大值为( C ) 1A. 2C.2 1B. 4D.4 [解析] 解法一:因为a8+a9+a10=24,所以a1+7d+(a1+8d)+(a1+9d)1 =24,所以a1=8-8d,所以a1d=(8-8d)d=8(d-d2)=-8(d-)2+2,所以当 2 坚持就是胜利! 2021届数学一轮复习 1 d=时,a1d取得最大值,最大值为2.故选C. 2 解法二:因为a8+a9+a10=24,所以3a9=24,所以a1+8d=8,所以a1=8(111 -d),所以a1d=8(1-d)d=8(d-d2)=-8(d-)2+2,所以当d=时,a1d取 22得最大值,最大值为2.故选C. 二、多选题 7.等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,下列选项正确的是( AD ) A.d>0 B.a1>0 C.当n=5时Sn最小 D.Sn>0时,n最小值为8 [解析] ∵a7=3a5,∴a1+6d=3a1+12d, ∴a1=-3d,由已知得d>0, ∴a1<0,故A正确,B不正确. ddd7d Sn=n2+(a1-)n=n2-dn=(n2-7n), 22222当n=3或4时,Sn最小,故C不正确. Sn>0解得n>7或n<0,因此Sn>0时n最小 为8,故D正确,选A、D. 8.(2020·皖中名校联考改编)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下结论正确的是( ACD ) A.a10=0 C.S7=S12 B.S10最小 D.S19=0 [解析] ∵2a1+3a3=S6,∴2a1+3a1+6d=6a1+15d, ∴a1=-9d,∴an=a1+(n-1)d=(n-10)d, ∴a10=0,故A正确; ∵Sn=na1+ n?n-1?dn?n-1?dd2 =-9nd+=(n-19n), 222 ∴S9=S10,S7=S12,S19=0,故B错误,C、D正确,选A、C、D. 坚持就是胜利! 2021届数学一轮复习 三、填空题 9.已知数列{an}中,a1=1且[解析] 由已知得 111=+(n∈N*),则a10= . an+1an341 1111 =+(10-1)×=1+3=4,故a10=. a10a134 10.中位数为1 011的一组数构成等差数列,其末项为2 019,则该数列的首项为__3__. [解析] 设首项为a1,则a1+2 019=2×1 011,解得a1=3.故填3. 11.若等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13=__3__. [解析] 因为S17= a1+a17 ×17=17a9=51,所以a9=3.根据等差数列的性质2 知a5+a13=a7+a11,所以a5-a7+a9-a11+a13=a9=3. 12.(2019·江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是__16__. [解析] 解法一:设等差数列{an}的公差为d,则a2a5+a8=(a1+d)(a1+4d) 2 +a1+7d=a21+4d+5a1d+a1+7d=0,S9=9a1+36d=27,解得a1=-5,d=2, 则S8=8a1+28d=-40+56=16. 9?a1+a9? 解法二:设等差数列{an}的公差为d.S9==9a5=27,a5=3,又a2a5 2+a8=0,则3(3-3d)+3+3d=0,得d=2,则S8=+3)=16. 四、解答题 13.(2020·武汉市部分学校调研测试)已知等差数列{an}前三项的和为-9,前三项的积为-15. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若{an}为递增数列,求数列{|an|}的前n项和Sn. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,则由a1+a2+a3=-9, 得a2=-3,则a1=-3-d,a3=-3+d, 由a1a2a3=-15,得(-3-d)(-3)(-3+d)=-15, 解得d2=4,d=±2, 8?a1+a8? =4(a4+a5)=4(12 坚持就是胜利! 2021届数学一轮复习 ∴an=-2n+1或an=2n-7. ?7-2n,n≤3, (2)由题意得an=2n-7,所以|an|=? ?2n-7,n≥4,①当n≤3时,Sn=-(a1+…+an)= 5+?7-2n?2 n=6n-n; 2 ②当n≥4时,Sn=-a1-a2-a3+a4+…+an=-2(a1+a2+a3)+(a1+a2+…+an)=18-6n+n2. 2 ?-n+6n,n≤3, 综上,数列{|an|}的前n项和Sn=?2 ?n-6n+18,n≥4. 14.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5. (1)若a3=4,求{an}的通项公式; (2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围. [解析] (1)设{an}的公差为d. 由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4. 于是a1=8,d=-2. 因此{an}的通项公式为an=10-2n. (2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn= n?n-9?d . 2 由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0, 解得1≤n≤10. 所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}. B组能力提升 1.(2020·湖北咸宁联考)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S5=10,则{an}的公差为( C ) 2A. 31C. 3 [解析] 由题意知a1+a2=3①,S5= 1B. 21D. 4 5?a1+a5? =10,即a1+a5=4②,②-①2 坚持就是胜利!
2021版高三数学(新高考)一轮复习检测 (34)第5章第二讲等差数列及其前n项和



