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2021版高三数学(新高考)一轮复习检测 (34)第5章第二讲等差数列及其前n项和

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2021届数学一轮复习

[练案34]第二讲 等差数列及其前n项和

A组基础巩固

一、单选题

1.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=( D ) A.12 C.16

[解析] 由a2=2,a3=4知d=

B.14 D.18

4-2

=2. 3-2

所以a10=a2+8d=2+8×2=18.故选D.

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a2 018=1,则S2 020=( C ) A.22 020 C.1 010

B.2 021 D.21 010

[解析] 因为{an}为等差数列,a3+a2 018=1,所以a1+a2 020=a3+a2 018=1,所以S2 020=

?a1+a2 020?×2 020

=1 010,故选C.

2

3.已知数列{an}为等差数列,a2+a3=1,以a10+a11=9,则a5+a6=( A ) A.4 C.6

B.5 D.7

[解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a2+a3=1,a10+a11=9,所以2a1

1111

+3d=1,2a1+19d=9,解得a1=-,d=,所以a5+a6=2a1+9d=-2×+9×

4242=4.

1

另解:a10+a11-(a2+a3)=16d=8?d=,所以a5+a6=a2+a3+6d=1+3=

24.故选A.

4.(2020·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( B )

A.1升

B.67

升 66

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C.

47

升 44

D.

37升 33

[解析] 设该等差数列为{an},公差为d, ?a1+a2+a3+a4=3,

由题意得?

?a7+a8+a9=4,13?a=,?22解得?

7??d=66.

1

?4a1+6d=3,

即?

?3a1+21d=4,

∴a5=

13767

+4×=.故选B. 226666

1

,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的25

5.一个等差数列的首项为公差d的取值范围是( D )

A.d>C.

8

75

B.d

3 25

83

?a10>1,

[解析] 由题意可得?

?a9≤1,

1??25+9d>1,即?1??25+8d≤1,

解得

83

6.(2020·辽宁五校联考)已知等差数列{an}的公差为d,且a8+a9+a20=24,则a1d的最大值为( C )

1A.

2C.2

1B. 4D.4

[解析] 解法一:因为a8+a9+a10=24,所以a1+7d+(a1+8d)+(a1+9d)1

=24,所以a1=8-8d,所以a1d=(8-8d)d=8(d-d2)=-8(d-)2+2,所以当

2

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1

d=时,a1d取得最大值,最大值为2.故选C. 2

解法二:因为a8+a9+a10=24,所以3a9=24,所以a1+8d=8,所以a1=8(111

-d),所以a1d=8(1-d)d=8(d-d2)=-8(d-)2+2,所以当d=时,a1d取

22得最大值,最大值为2.故选C.

二、多选题

7.等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,下列选项正确的是( AD )

A.d>0 B.a1>0

C.当n=5时Sn最小 D.Sn>0时,n最小值为8

[解析] ∵a7=3a5,∴a1+6d=3a1+12d, ∴a1=-3d,由已知得d>0, ∴a1<0,故A正确,B不正确.

ddd7d

Sn=n2+(a1-)n=n2-dn=(n2-7n),

22222当n=3或4时,Sn最小,故C不正确. Sn>0解得n>7或n<0,因此Sn>0时n最小 为8,故D正确,选A、D.

8.(2020·皖中名校联考改编)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下结论正确的是( ACD )

A.a10=0 C.S7=S12

B.S10最小 D.S19=0

[解析] ∵2a1+3a3=S6,∴2a1+3a1+6d=6a1+15d, ∴a1=-9d,∴an=a1+(n-1)d=(n-10)d, ∴a10=0,故A正确; ∵Sn=na1+

n?n-1?dn?n-1?dd2

=-9nd+=(n-19n), 222

∴S9=S10,S7=S12,S19=0,故B错误,C、D正确,选A、C、D.

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三、填空题

9.已知数列{an}中,a1=1且[解析] 由已知得

111=+(n∈N*),则a10= . an+1an341

1111

=+(10-1)×=1+3=4,故a10=. a10a134

10.中位数为1 011的一组数构成等差数列,其末项为2 019,则该数列的首项为__3__.

[解析] 设首项为a1,则a1+2 019=2×1 011,解得a1=3.故填3. 11.若等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13=__3__. [解析] 因为S17=

a1+a17

×17=17a9=51,所以a9=3.根据等差数列的性质2

知a5+a13=a7+a11,所以a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.

12.(2019·江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是__16__.

[解析] 解法一:设等差数列{an}的公差为d,则a2a5+a8=(a1+d)(a1+4d)

2

+a1+7d=a21+4d+5a1d+a1+7d=0,S9=9a1+36d=27,解得a1=-5,d=2,

则S8=8a1+28d=-40+56=16.

9?a1+a9?

解法二:设等差数列{an}的公差为d.S9==9a5=27,a5=3,又a2a5

2+a8=0,则3(3-3d)+3+3d=0,得d=2,则S8=+3)=16.

四、解答题

13.(2020·武汉市部分学校调研测试)已知等差数列{an}前三项的和为-9,前三项的积为-15.

(1)求等差数列{an}的通项公式;

(2)若{an}为递增数列,求数列{|an|}的前n项和Sn.

[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,则由a1+a2+a3=-9, 得a2=-3,则a1=-3-d,a3=-3+d,

由a1a2a3=-15,得(-3-d)(-3)(-3+d)=-15, 解得d2=4,d=±2,

8?a1+a8?

=4(a4+a5)=4(12

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∴an=-2n+1或an=2n-7.

?7-2n,n≤3,

(2)由题意得an=2n-7,所以|an|=?

?2n-7,n≥4,①当n≤3时,Sn=-(a1+…+an)=

5+?7-2n?2

n=6n-n; 2

②当n≥4时,Sn=-a1-a2-a3+a4+…+an=-2(a1+a2+a3)+(a1+a2+…+an)=18-6n+n2.

2

?-n+6n,n≤3,

综上,数列{|an|}的前n项和Sn=?2

?n-6n+18,n≥4.

14.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5. (1)若a3=4,求{an}的通项公式;

(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围. [解析] (1)设{an}的公差为d.

由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4. 于是a1=8,d=-2.

因此{an}的通项公式为an=10-2n. (2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=

n?n-9?d

. 2

由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0, 解得1≤n≤10.

所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.

B组能力提升

1.(2020·湖北咸宁联考)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S5=10,则{an}的公差为( C )

2A.

31C.

3

[解析] 由题意知a1+a2=3①,S5=

1B. 21D. 4

5?a1+a5?

=10,即a1+a5=4②,②-①2

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