【例5】 请用十字相乘的方法将下列各式因式分解：
⑴x2??b?1?x?b⑵kx2??2k?3?x?k?3
⑶3x2?4xy?4y2?8x?8y?3 ⑷a(6a?11b?4)?b(3b?1)?2
题型三：因式分解的应用
典题精练
【例6】 在日常生活中如取款、上网都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：
如对于多项式x4?y4因式分解的结果是?x?y??x?y?x2?y2，若取x?9，y?9，则各个因式的值是：x?y?0，x?y?18，x2?y2?162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3?xy2，取x?2，y?2时，用上述方法产生的密码是：_______________（写出一种情况即可）．
【例7】 如图，试用图中的三张正方形纸片和三张矩形纸片拼成一个较大的矩形，请你画出拼后的大矩形（注
明边长），并将这个拼图表示为一个因式分解的式子.
abbbbbaaaabb
??
【例8】 如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，13，
9，3的对面的数分别为a，b，c，求a2?b2?c2?ab?bc?ac的值.
思维拓展训练(选讲)
训练1. 分解因式：
⑴ x?x?1??y?y?1??2xy；
⑵ ?1?x?x2?x3?2?x3．
⑶abx2?(a2?b2)x?(a2?b2)； ⑷mx2?(m2?m?1)x?m2?m．
训练2. 分解因式：⑴x2?2xy?8y2?x?14y?6．
⑵x2?3y2?8z2?2xy?2xz?14yz
训练3. 已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．
3 13 9
训练4. 已知△ABC三边a、b、c，满足条件a2c?a2b?ab2?b2c?c2b?ac2?0，试判断△ABC的形状，
并说明理由．
复习巩固
题型一 因式分解——分组分解法 巩固练习
2222【练习1】 分解因式：abc?d?cda?b.
????
题型二 因式分解——十字相乘 巩固练习
【练习2】 分解因式：
⑴16m2?31mn?2n2； ⑵6xn?1?7xny?24xn?1y2．
【练习3】 多项式x2?px?12可分解为两个一次因式的积，整数p的值是 （写出所有情况）.
【练习4】 若多项式x2?x?m在整数范围内能分解因式，把你发现字母m的取值规律用含字母n（n为正整
数）的式子表示为 ．
题型三 因式分解的应用 巩固练习
【练习5】 一个矩形的面积为a3?2ab?a，宽为a，则矩形的长为_________.
因式分解的常用方法及应用及典型习题
