因式分解的常用方法及应用
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题型一：因式分解——分组分解法
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暑期因式分解知识回顾：
1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式． 2、提公因式法：
公因式：多项式各项公共的因式．
用提公因式法进行因式分解要注意下面几点： ⑴ 公因式要提尽；
⑵ 将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正. 3、公式法
把乘法公式反过来，就可以利用公式将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解． 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平
方．
例如：对下列各式因式分解：
⑴12abc?9a2b2= . ⑵(x?3)2?(x?3)= .
⑶x3?xy2?___________．
⑷27x2?18x?3= .
在因式分解的时候，不能采用提公因式法和公式法的时候，可以思考一下是否可以采用分组分解法.
基础知识 示例剖析 如果整式没有公因式可以提取，也无法直接 用公式分解，则需要分组分解. 分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组
分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法. 分组分解法的基本步骤： 1、将原式适当分组； 2、讲分组后的式子分解因式，或“提”或“代”； 3、将经过处理过的式子在分解因式，或“提”或“代”. 注意事项：降幂排序 首项为正 拆开重组 瞄准方法
ax?by?bx?ay例如：?ax?bx?ay?byKK重新分组?x?a?b??y?a?b?KK提取公因式??a?b??x?y?KK再提取公因式 例题精讲
【引例】 分解因式
⑴x2?xy?
12y?1 ⑵a2?a?b2?b 412?1?211?2?????【解析】 ⑴原式=?x?xy?y??1=?x?y??1??x?y?1??x?y?1?
4?2?22??????1??2x?y?2??2x?y?2? 4⑵原式=a2?b2??a?b?=?a?b??a?b???a?b???a?b??a?b?1?
??典题精练
【例1】 ⑴下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（ ）
①m3?m2?m?1； ②?4b2?9a2?6ac?c2； ③5x2?6y??15x?2xy?； ④x2?y2??mx?my?； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ⑵因式分解：1?4x2?4y2?8xy，正确的分组是（ ）
A. 1?4x2?8xy?y2 B. 1?4x2?4y2?xy C. ?1?8xy??4x2?4y2 D. 1?4x2?4y2?8xy ⑶将多项式x2?2xy?y2?2x?2y?1分解因式，正确的是（ ）
A. ?x?y? B. ?x?y?1? C. ?x?y?1? D. ?x?y?1?
2222??????????????????
⑷将多项式a3?2a2b?ab2?a分解因式，正确的是（ ）
A. a2?ab?a?a?b?1? B. a?a?b?1??a?b?1? C. aa2?2ab?b2?1 D. a2?ab?aa2?ab?a
【例2】 分解下列因式
⑴xy?x?y?1 ⑵a2b2?a2?b2?1 ????????
⑶5a2m?15am?3abm?9bm
⑸a2?2ab?b2?c2?2c?1
【例3】 分解因式
⑴x(x?z)?y(y?z)
⑶ab(c2?d2)?(a2?d2)cd
⑷a2?b2?2ab?1 ⑹x3?2x2?x?2?x5?2x4 ⑵ax(y3?b3)?by(bx2?a2y)
题型二：因式分解——十字相乘法
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十字相乘法是二次三项式因式分解的重要方法．一个二次三项式ax2?bx?c，若可以分解，则一定可以写成(a1x?c1)(a2x?c2)的形式，它的系数可以写成
a1a2c1，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的c2数，其实就是分解系数a，b，c，使得：a1a2?a，c1c2?c，a1c2?a2c1?b，x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b). 若b2?4ac不是一个平方数，那么二次三项式ax2?bx?c就不能在有理数范围内分解.
建议：十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解，有些多项式为了能用十字相乘法分解，一般需经过下面两个步骤：
⑴将多项式按某一个字母降幂排列，将这个多项式看成是关于这个字母的二次三项式；
⑵若系数为分数，设法提出一个为分数的公因数，使括号内的多项式成为整系数，再利用十字相乘法分解．
这个方法的要领可以概括成16个字“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选”．
例题精讲
【引例】 分解下列因式
⑴x2?5x?6 ⑵x2?5x?6 ⑶x2?5x?6 ⑷x2?5x?6
【解析】 ⑴(x?2)(x?3) ⑵(x?2)(x?3)；
x -2 x 2
x -3 x 3
⑶(x?6)(x?1)； ⑷(x?6)(x?1)
x 6
x -1
x -6
x 1
典题精练
【例4】 分解因式：
⑴x2?7x?10 ⑵x2?10xy?24y2
⑶x4?13x2?36 ⑷2x2?x?1
⑸2x2?3xy?2y2 ⑹12x2?11xy?15y2
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选主元法：
在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．
典题精练
因式分解的常用方法及应用及典型习题
