基于极坐标的扇束CT周期性优化算法
刘 辉1，张 权1，刘 祎1，桂志国1,2
【摘 要】摘 要：为了提高传统扇束计算机断层扫描(Computed Tomography,CT)卷积反投影重建算法(Conventional Back-Projection,CBP )的重建速度，提出了一种快速的扇束CT重建算法.该算法结合极坐标特性，利用三角函数一定程度上的周期性，对传统CBP重建算法进行了改进，减少了正余弦函数的计算量和重建所需要的外围循环次数.同样利用该特性对极坐标重建后的图像坐标转换过程进行改善，从而对CBP算法进行了改进，降低了重建时间.
【期刊名称】测试技术学报 【年(卷),期】2016(030)005 【总页数】6
【关键词】计算机断层扫描；卷积反投影；三角函数特性；极坐标
随着计算机断层成像技术(Computed Tomography，CT)的不断发展，CT重建技术越来越多地运用到医学诊断[1]、工业无损检测等行业中[2].CT重建主要有解析算法和迭代算法[3-5].与迭代算法相比，解析重建法以其重建速度快、重建图像质量高的特点，已经被广泛应用到工程上.CBP重建算法是解析算法中最具代表性的重建算法之一[6-8].虽然CBP重建算法重建所需数据量较少，但是运算数据量依然很大，还需要进一步提高其重建速度，才能更好地运用到工业上.
加权、卷积滤波和反投影是CBP算法的3个主要部分，其中反投影过程就占据了98.36%的重建时间[9]，因此反投影重建过程的改进是主要研究方向.文献
[10]运用极坐标特性，提出了极坐标反投影重建算法(Polar Coordinates Back-Projection,PCBP)，但极坐标向笛卡尔坐标的转换过程中要使用插值运算，重建速度提高有限；文献[11]利用正余弦函数特性，将16幅投影同时进行反投影重建，提出了对极坐标重建的优化算法(Optimize Polar Conventional Back-Projection OPCBP)，该算法将重建速度提高了4倍；文献[12]利用了三角函数的对称性，提出了极坐标反投影对称优化算法(Symmetry Polar Conventional Back-Projection SPCBP)，同时对64幅预处理后的数据进行重建，将重建速度提高8倍.
本文利用三角函数一定程度上的周期性和极坐标反投影重建的特点，将144幅反投影数据同时进行反投影重建，使外围循环减少至传统算法的1/144，同时大大减少了三角函数的运算量，从而实现对传统算法的优化.本文称之为极坐标反投影周期性优化算法(Periodicity Polar-coordinate Conventional Back-Projection，PPCBP).
1 扇束CBP重建原理
扇束CT扫描示意图如图1所示，图中a(r,θ)是待重建图像切片的射线衰减系数分布函数；β为射线源投射角度；函数p(β,s)是该角度下的投影数据；D为射线源到物体重建中心的距离，重建公式为 , (1) , (2) ,
(3) , (4) . (5)
由式(1)～式(5)可知计算机实现CBP反投影重建时，首先通过式(3)给投影数据进行加权；其次通过式(2)对加权过的数据进行卷积滤波；最后根据式(4)和式(5)确定的射线的反投影地址s和加权因子U对滤波后的数据进行累加反投影重建.假设重建的图像的大小为N×N，投影角度为[0°,360°),投影视图数为M，该算法的反投影过程流程如图2所示，从图2中可以看出CBP反投影重建中运最复杂的就是对反投影地址s和加权因子U求解.由式(4)和式(5)可知，每次求s和U需要9次乘法(含除法)和6次正余弦函数运算，反投影过程总共需要次乘法和次正余弦运算，因此主要考虑对s和U求解过程的简化.
2 极坐标下进行重建
, (6) . (7)
由式(4)和式(5)可以得到的式(6)和式(7)可以看出，计算s和U时只需要知道r,β,θ即可，r和θ是极坐标中的表示方法，这为在极坐标中进行重建提供了条件.该算法的流程如图3所示，其中m=2π/M.由图3可知，极坐标重建(Polar Coordinates Conventional Back-Projection,PCBP)算法需要NM2次乘法和
基于极坐标的扇束CT周期性优化算法
