【三角函数疑难点拔】 一、 忽略隐含条件
例3． 若sinx?cosx?1?0，求x的取值范围。
正解：2sin(x??)?1，由sin(x??)?2得2k????x???2k??3?(k?Z)∴2k?424444二、 忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性 例4． 设?、?为锐角，且?+?错解
?x?2k???2(k?Z)
?120?，讨论函数y?cos2??cos2?的最值。
11y?1?(cos2??cos2?)?1?cos(???)cos(???)?1?cos(???)，可见，当cos(???)??12231；当cos(???)?1时，ymin?。分析：由已知得30???,??90?，∴?60??????60?，则
22时，
ymax?11?cos(???)?1，∴当cos(???)?1，即????60?时，ymin?，最大值不存在。
22三、 忽视应用均值不等式的条件
a2b2??(a?b?0,0?x?)的最小值。 例5． 求函数y?222cosxsinxa2b22ab4ab(2)(1)????4ab(?0?sin2x?1)，错解 y?∴当sin2x?1时，ymin?4ab 22sinxcosxsin2xcosxsinx2222222222分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。正解： y?a(1?tanx)?b(1?cotx)?a?b?(atanx?bcotx)，
?a2?b2?2ab?(a?b)2当且仅当atanx【经典题例】
?bcotx，即tanx?ba，时，
ymin?(a?b)2
?bx?c对任意α、β?R有：f(sin?)?0,且f(2?cos?)?0,
（1）求f（1）的值；（2）证明：c?3；（3）设f(sin?)的最大值为10，求f（x）。
?[思路]（1）令α=，得f(1)?0,令β=?，得f(1)?0,因此f(1)?0,；（2）证明：由已知，当?1?x?1时，f(x)?0,2例4：已知b、c是实数，函数f(x)=x当1?（3）由上述可知，[-1，1]是f(x)的减区x?3时，f(x)?0,通过数形结合的方法可得：f(3)?0,化简得c?3；
2间，那么
f(?1)?10,又f(1)?0,联立方程组可得b??5,c?4,所以f(x)?x2?5x?4
例5：关于正弦曲线回答下述问题：
24??xy?log1sin(?)的单调递增区间是？ [8k??x?8k?]k?Z；
33342?（2）若函数y?sin2x?acos2x的图象关于直线x?对称，则a的值是 1 ；
8??（3）把函数y?sin(3x?)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得
84?的函数解析式子是 y?sin(x?) ；
8sin2x例6：函数f(x)?，（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x值。
1?sinx?cosx（1）函数
1
[思路]（1）{x|x?2k???且x?2k??Acos2?2 k?Z}(2)设t=sinx+cosx,则y=t-1ymax?2?1,x?2k???4 k?Z
例7：在ΔABC中，已知sinCA3（2）求角B的取值范围。 ?sinCcos2?sinB（1）求证：a、b、c成等差数列；
222[思路]（1）条件等式降次化简得
sinA?sinC?2sinB?a?c?2b??（2）
a2?c2?(?cosB?14．设xa?c2)?3(a2?c2)?2ac6ac?2ac12???,??∴……，得B的取值范围(0,] 32ac8ac8ac2?cos??sin?，且sin3??cos3??0，则x的取值范围是 (0,2] ；
19．已知x?(0,?2)，证明不存在实数m?(0,1)能使等式cosx+msinx=m(*)成立；
33（2）试扩大x的取值范围，使对于实数m?(0,1)，等式(*)能成立； （3）在扩大后的x取值范围内，若取m提示：可化为m最值问题典型错例
?,求出使等式(*)成立的x值。
x?????tan(?)?1（2）x?(?,)（3）x??62422sinx的最大值和最小值。 213?4cosx22 错解：原函数化为4，关于sinx的二次方程的判别式?，即ysinx?sinx?9y?0?(?1)?4?4y?9y?0111311??y?，所以ymax?，ymin??。剖析：若取y??，将导致sinx??的错误结论，此题错在忽121212212122视了隐含条件|s，当y?0时，解得s，满足sinx?1 inx?0inx|?1。正解：原函数化为4ysinx?sinx?9y?0 例5. 求函数
y?当
y?0时，解得
1?1?144y2sinx?8y，又
，sinx?R，|sinx|?11?144y2?0则有??或
?1?1?144y2?1??1?8y??1?144y2?0?y?，所以，解得??21313?1?1?144y?1??1?8y?11ymax?11，ymin?? 1313 难点 化简与求值
3?123,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________.
541322
［例1］不查表求sin20°+cos80°+3cos20°cos80°的值.
11222
解法一：sin20°+cos80°+3sin20°cos80°= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°
221111=1－cos40°+cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°
22223311sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－
442432
sin20° 2331=1－cos40°－(1－cos40°)=
4442222
解法二：设x=sin20°+cos80°+3sin20°cos80°，y=cos20°+sin80°－3cos20°sin80°，则
【例】已知
?2＜β＜α＜
2
1，x－y=－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 21122
∴x=y=，即x=sin20°+cos80°+3sin20°cos80°=.
4412
［例2］关于x的函数y=2cosx－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.
2a2a2?4a?2解：由y=2(cosx－)－及cosx∈［－1，1］得：
222?1 (a??2)a1111?f(a)?a2，∵f(a)=,∴1－4a=?a=?［2,+∞)，故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，
?2a?1 (?2?a?2)22282??2x+y=1+1－3sin60°=
?1?4a (a?2)??y=2(cosx+
121)+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5. 222
难点训练
1.(★★★★★)已知方程x+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈(－A.
??22,)，则tan
???2的值是( )
41 D. 或－2 32?3?3?5??33.设α∈(,)，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则sin(α+β)=_________.
444134452sin130??sin100?(1?3tan370?). 4.不查表求值:
1?cos10?sin2x?2sin2x317?7??5.已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值.
1?tanx51244
B.－2
C.
7.扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积. 8.已知cosα+sinβ=
1 23，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=log122x?3的最小值，并求取得最小值时x的值.
4x?10参考答案
难点磁场
??3?＜β＜α＜,∴0＜α－β＜.π＜α+244542β)=1?cos(???)?,cos(???)??1?sin2(???)??.∴sin2α=sin［(α
1355412356β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)??(?)??(?)??.。解法二：∵sin(α
1351356572∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β
651724056∴sin2α=(??)??
2656565解法一：∵难点训练
一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0。tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－
β＜
3?,∴sin(α－4－β)+(α+β)］=sin(α－－β)=
54,cos(α+β)=－,
51340)=－
65??????,)∴α、β∈(－,θ),则2222???2tantan??tan??4a44?2??,又tan(???)??,整理得∈(－,0),又tan(α+β)=
???31?tan?tan?1?(3a?1)321?tan22??????2?3tan?2=0.解得tan???=－2.答案：B 2tan2223
高中数学三角函数专题专项练习(非常好)
