第二节 等差数列及其前n项和
[最新考纲] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N＋)，d为常数．
(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝
a＋b2
.
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋
nn－1
2
na1＋and＝.
2
3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数． (2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n＋?a1－?n是关于n的二次函数．
2?2?4．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． [常用结论] 等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈ N＋)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N＋)也是等差数列，公差为md. (5)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝
2
d2
?
d?
anS2n－1
. bnT2n－1
(6)若{an}是等差数列，则??也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的
?n?
?Sn?
1公差的.
2
(7)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S偶－S奇＝nd，
S奇an＝. S偶an＋1
(8)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 ①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②
S奇n＋1＝. S偶n
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋
an＋2.( )
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、教材改编
1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于( ) 1
A． 4C．2
A [∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5， 又a10＝6，∴公差d＝
1
B． 21D．－ 2
a10－a66－51
10－6
＝
4
＝.故选A.] 4
2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( ) A．31 C．33
B [设数列{an}的公差为d， 法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6， 又a6＝2，
B．32 D．34
8∴S8＝
a1＋a8
2
8＝
a3＋a6
2
＝
8
6＋2
＝32. 2
?
法二：由?5×4
5ad＝30，1＋?2?
?a1＋5d＝2，
26
a＝，??3得?4
d＝－??3.
1
8×7264
∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.]
233
3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________． 487 [依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.] 4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
820 [设第n排的座位数为an(n∈N＋)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1
＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场20a1＋a2020×22＋60
总共的座位数为＝＝820.]
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考点1 等差数列基本量的运算
解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
1.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则
( )
A．an＝2n－5 C．Sn＝2n－8n
2
B．an＝3n－10 12
D．Sn＝n－2n
2
d??S4＝4a1＋×4×3＝0，2A [由题知，?
??a5＝a1＋4d＝5，
??a1＝－3，
解得?
?d＝2，?
2
∴an＝2n－5，Sn＝n－4n，故选A.]
高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和教学案理北师大版
