第十章 多元函数积分学（Ⅰ）
一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。
第一节 二重积分
教学目的：
1、熟悉二重积分的概念；
2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点：
1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点：
1、二重积分的计算；
2、二重积分计算中的定限问题 教学内容：
一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积
设有一立体, 它的底是xOy面上的闭区域D, 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面, 它的顶是曲面z=f(x, y), 这里f(x, y)0且在D上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.
首先, 用一组曲线网把D分成n个小区域
s 1, s 2, , s n .分别以这些小闭区域的边
界曲线为准线, 作母线平行于z轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体. 在每个s i中任取一点(x i , h i), 以f (x i , h i)为高而底为s i的平顶柱体的体积为
f (x i , h i) si (i=1, 2, × × × , n ).
这个平顶柱体体积之和
V??f(?i,?i)??ii?1n
可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即
V?lim?f(?i,?i)??i??0i?1n
其中l是个小区域的直径中的最大值.
2. 平面薄片的质量.
设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D, 它在点(x, y)处的面密度为r(x, y), 这里r(x, y)0且在D上连续. 现在要计算该薄片的质量M.
用一组曲线网把D分成n个小区域s 1, s 2, × × × , s n . 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: r(x i , h i)s i . 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:
M???(?i,?i)??ii?1n
将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量
M?lim??(?i,?i)??i??0i?1n
其中l是个小区域的直径中的最大值.
定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数. 将闭区域D任意分成n个小闭区域
s 1, s 2, × × × , s n .
其中s i表示第i个小区域, 也表示它的面积. 在每个s i上任取一点(x i, hi), 作和
?f(?i,?i)??i.
i?1n如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分, 记作
??f(x,y)d?, 即
Dlim?f(?i,?i)??i. ??f(x,y)d????0i?1Dnf(x y)被积函数, f(x y)d被积表达式, d面积元素, x y积分变量, D积分区域, 积分和.
直角坐标系中的面积元素:
如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D, 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域
si的边长为xi和yi, 则si=xiyi, 因此在直角坐
标系中, 有时也把面积元素ds 记作dxdy, 而把二重积分记作
??f(x,y)dxdy
D其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.
二重积分的存在性: 当f(x, y)在闭区域D上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f(x, y)在D上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f(x, y)在闭区域D上连续, 所以f(x, y)在D上的二重积分都是存在的.
二重积分的几何意义: 如果f(x, y)0, 被积函数f(x, y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f(x, y)是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.
二、二重积分的性质
性质1
??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?.
DD 性质2 设c1、c2为常数
D 则
DD??[c1f(x,y)?c2g(x,y)]d??c1??f(x,y)d??c2??g(x,y)d?.
性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如D分为两个闭区域D1与D2, 则
??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?.
DD1D2 性质4
??1?d????d???(s为D的面积).
DD 性质5 如果在D上, f(x, y)g(x, y), 则有不等式
??f(x,y)d????g(x,y)d?.
DD 性质6 |??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d?.
DD 性质7(二重积分的中值定理) 设函数f(x, y)在闭区域D上连续, s 为D的面积, 则在D上至少存在一点(x, h)使得
??f(x,y)d??f(?,?)?.
D三、 二重积分的计算法
X--型区域: D : j1(x)yj2(x), axb . Y --型区域: D : y1(x)yy2(x), cyd .
混合型区域:
设f(x, y)0, D={(x, y)| j1(x)yj2(x), axb}.
此时二重积分
对于x0
??f(x,y)d?在几何上表示以曲面z=f(x, y)为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积.
D[a, b], 曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间[j1(x0), j2(x0)]为底、以曲线z=f(x0, y)为
?2(x0)曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为
A(x0)??b?1(x0)f(x0,y)dy.
根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为
V??A(x)dx??[?ab?2(x)a?1(x)f(x,y)dy]dx.
即 V=可记为
??Df(x,y)d???[?b?2(x)a?1(x)f(x,y)dy]dx.
??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy.
类似地, 如果区域D为Y --型区域:
D : y1(x)yy2(x), cyd ,
则有
??f(x,y)d???cdy??(y)D1d?2(y)f(x,y)dx.
例1：计算??xyd?, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域.
D解：画出区域D.
方法一 可把D看成是X--型区域: 1x2, 1yx . 于是
y2x12(x3?x)dx?1[x4?x2]2?9.
xyd??[xydy]dx?[x?]dx?1???1?1?1212?12428D2x2注 积分还可以写成??xyd???dx?xydy??xdx?ydyD11112x2x
方法二 也可把D看成是Y--型区域: 1y2, y22x2 . 于是
22y3y429x22??xyd???1[?yxydx]dy??1[y?2]ydy??1(2y?2)dy?[y?8]1?8. D2例2：计算
??yD1?x2?y2d?, 其中D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域.
解：画出区域D, 可把D看成是X--型区域: -1x1, xy1. 于是
??y1?x2?y2d???dx?y1?x2?y2dy
D?1x11111(|x|3?1)dx ??1?[(1?x2?y2)2]1dx??x3?13??13121 ???(x3?1)dx?.
302也可D看成是Y--型区域：-1y1, -1x 1y22y1?x?yd???ydy???D?1?11?x2?y2dx. 例3：计算 2 , 其中D是由直线y=x-2及抛物线y=x所围成的闭区域. xyd???D解：积分区域可以表示为D=D1+D2, 其中D1: 0?x?1, ?x?y?x; D2: 1?x?4, 2?y?x. 于是 ??xyd???dx?D01x?xxydy??dx?14xx?2xydy. 积分区域也可以表示为D: -1y2, y2xy+2. 于是 212[y(y?2)2?y5]dy x?2xydx??[y]ydy?y2?122??12 ??xyd???dy?D?12y?2y2y443y62152 ?[?y?2y?]?1?5. 24368讨论积分次序的选择. 例4：求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解：设这两个圆柱面的方程分别为x+y=r及x+z=r. 利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V1, 然后再乘以8就行了. 第一卦限部分是以D={(x, y)| 0y于是 2 2 2 2 2 2 R2?x2, 0xr}为底, 以z?R2?x2顶的曲顶柱体. V?8??DR?xd??8?dx?022RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx ?8?0R(R2?x2)dx?16R3. 3四、二重积分的换元法 1.利用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量 r 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 n??f(x,y)d?. 按二重积分的定义 Dlim?f(?i,?i)??i. ??f(x,y)d????0i?1D下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域, 小闭区域的面积为: 111222??(?i???i) ?i???i???i??i??i??i, 2其中?i表示相邻两圆弧的半径的平均值. ??i?(?i???i)2???i???i2???i?(2?i???i)??i???i 在si内取点( ?i , ?i ), 设其直角坐标为(x i, h i), 则有 ?i??i cos?i, ?i??i sin?i.
高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)
