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∴∠BAC=∠ABD,∴BD=AD. (2)解法一:∵∠C=90°, ∴∠BAC+∠ABC=90°, ∴(∠BAC+∠ABC)=45°.
21
∵BD平分∠ABC,AP平分∠BAC, ∴∠BAP=∠BAC,∠ABP=∠ABC,
2
2
1
1
即∠BAP+∠ABP=45°, ∴∠APB=180°-45°=135°. 解法二:∵∠C=90°, ∴∠BAC+∠ABC=90°, ∴(∠BAC+∠ABC)=45°.
21
∵BD平分∠ABC,AP平分∠BAC, ∴∠DBC=∠ABC,∠PAC=∠BAC,
2
2
1
1
∴∠DBC+∠PAD=45°. ∴∠BPA=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD =∠DBC+∠PAD+∠C =45°+90° =135°.
21.解析 过B点作BE⊥l1,交l1于点E,交CD于F点,交l2于点G. 在Rt△ABE中,BE=AB·sin 30°=20×=10(km),
21
在Rt△BCF中,BF=BC÷cos 30°=10÷=CF=BF·sin 30°=DF=CD-CF=(30-320√33
√320√3(km), 23
×=
110√3(km), 23
10√3)km.
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在Rt△DFG中,FG=DF·sin 30°=(30-∴EG=BE+BF+FG=(25+5√3)km.
10√315√3×=(15-)km, )323
故两高速公路间的距离为(25+5√3)km.
22.解析 (1)QE=QF. 理由:∵Q为AB的中点, ∴AQ=BQ.∵BF⊥CP,AE⊥CP, ∴∠BFQ=∠AEQ=90°. 在△BFQ和△AEQ中,
∠??????=∠??????,
{∠??????=∠??????, ????=????,
∴△BFQ≌△AEQ(AAS),∴QE=QF. (2)(1)中的结论仍然成立. 证明:如图①,延长FQ交AE于点D. ∵Q为AB的中点,∴AQ=BQ. ∵BF⊥CP,AE⊥CP,∴BF∥AE, ∴∠QAD=∠FBQ. 在△FBQ和△DAQ中,
∠??????=∠??????,
{????=????,
∠??????=∠??????,
∴△FBQ≌△DAQ(ASA), ∴QF=QD.∵AE⊥CP,
∴EQ是Rt△DEF斜边上的中线, ∴QE=QF=QD,即QE=QF. (3)(1)中的结论仍然成立.
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证明:如图②,点P在线段BA的延长线上,延长EQ,FB交于点D. ∵Q为AB的中点,∴AQ=BQ. ∵BF⊥CP,AE⊥CP, ∴BF∥AE,∴∠1=∠D.
∠1=∠??,
在△AQE和△BQD中,{∠2=∠3,
????=????,∴△AQE≌△BQD(AAS), ∴QE=QD.∵BF⊥CP,
∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线, ∴QE=QF.
同样,点P在线段AB的延长线上时,(1)中的结论也成立.
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2024届泰安中考数学阶段检测试卷（四）有答案-（九年级）
