2.1.1 数列的概念
一、教学目标
1、了解数列的概念
通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。同时了解数列的几种分类。 2、了解数列是一种特殊的函数
了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。
二、教学重点与难点
<1>教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。
<2>教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。
三、教学过程
第一课时
<1>创设情境，实例引入
1、引导学生观察P26章节前的知识背景图片，构建自然现象中体现出的数的规律。 留下问题思考：你能发现下面这一列数的规律吗 1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...
（我们先一起来观察一下课本P26的这幅大图，大家来数数这些花各有几片花瓣。我们发现，第一朵花有3片花瓣，第二朵花有5片花瓣，第三朵花有8片花瓣，第四朵花有13片花瓣。。。那大家来观察一下书上的那一组数：1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...，你能发现它们有什么规律吗？带着这个问题，我们要来探讨一个有关数的新问题。） 2、引导学生观察课本P28的两幅图-三角形数与正方形数，进而引出数列的概念。 （大家都知道古希腊拥有着灿烂的文明，它的数学文化同样值得我们去探究。古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，书本上的这两幅图正是他们所研究的一小部分，即三角形数与正方形数。大家一起来观察一下，在三角形数这幅图中每个图形分别对应着数1，3，6，10....，而在正方形数这幅图中每个图形分别对应着数1，4，9，16...，大家能发现它们的共同特点吗？每个图形代表的数与在图中的序列号有没有什么联系呢？这样的一组数我们在数学上称之为数列。现在我们一起来认识这个全新的概念：数列。） <2>概念的提出
1、数列（sequence of number）：按照一定顺序排列着的一列数
（我们可以借助它的专业英语对这一概念进行理解，我们知道sequence在英语中表示序列、顺序，故而顾名思义，sequence of number即数列表示这一列数的排列顺序。） 联系生活中的数列实例：银行利息
（在了解了数列的概念之后，大家能否举出一些生活中的数列的例子呢？
大家知道我们把钱存进银行，我们账户上的存款除了我们本身存进去的钱还包括一定的利息，我们会发现每一个单位时间内我们帐户的利息的值是按照一定的顺序排列起来的。再如，有养过兔子的同学会发现兔子产出的小兔子数量也可以构成一个数列。） 2、项：数列中的每一个数称为这个数列的项
（我们知道，由数列的概念进行解读，数列是按照一定顺序排列起来的一组数，故而数列中的每一项都和它的序号有关。）
我们称排在第一位的数为这个数列的第一项或首项，称排在第二位的数为这个数列的第二项，...，（以此类推）称排在第n位的数为这个数列的第n项。 故而，数列的一般形式可以写成
a1,a2,a3,...an,...
简记为
?an?
<3>数列的分类
（我们可以按照数列的特点进行适当地分类。） 1、按照数列的项数进行分类 项数有限的称为有穷数列 项数无限的称为无穷数列
2、按照数列中数的大小特点进行分类
每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列 各项相等的数列称为常数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列称为摆动数列
（现在我们根据数列的分类来判断一下课本P28的几个数列是属于哪一类数列） 练习P28-观察
<4>数列与函数的关系
（我们再来观察一下数列的特点，大家是否有发现数列中的数与它所对应的序列号的关系呢？大家是否可以联想到从前学习的某些内容呢？提问学生。） 事实上，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，3，。。。，n｝）为定义域的函数an?f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。 对于函数y?f(x)，如果f(i)(i?1,2,3...)有意义，那我们就可以得到一个数列
f(1),f(2),f(3),...f(n),...
<5>归纳小结
（我们今天一同认识了一个新的概念：数列，我们知道它是一个与现实生活有密切联系的数学概念，我们一同来回忆一下数列的概念，数列的两种分类。另外，我们发现数列实质上是一种特殊的函数。）
回顾数列的概念，数列的两种分类以及数列的实质：是一种特殊的函数。 <6>作业布置
P33 习题2.1 A组 1
第二课时
<1>数列的简单表示法的学习 1、通项公式
（在上节课的学习中，我们一同认识了数列这个新的数学概念，得知可以将其定义为一种特殊的函数，在此基础上，我们可以这样提出：） 如果数列?an?的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这
个数列的通项公式，我们可以根据数列的通项公式写出数列。
练习：课本例1
写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1111，-，，- （1）
2340，2，0 （2）2，解：
（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
(?1)n?1故它的一个通项公式为an?n另一种表示法：
(n?2m,m?1,2,3,...)??1nan??1?n(n?2m?1,m?1,2,3,...)
（2）这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以它的通项公式为
an?(?1)n?1?1
2、图象、列表法
（我们一同来回忆一下函数的集中表示方法，函数常用的三个表示法为解析法、列表法、图象法。数列作为一种特殊的函数，自然拥有函数的一般性质。事实上，数列的通项公式可以相对应于函数的解析式，同样数列也可以用图象和列表来表示。） 例如：全体正偶数按从小到大的顺序构成数列 2，4，6，... ，2n，...
则该数列可以用列表和图表分别表示出来（表2-1和图2.1-4） 练习：课本P30 例2
图2.1-5中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形。在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像。 解：
如图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为1，3，9，27 则可知所求数列的前四项都是3的指数幂，指数为序号减1.
n?1所以，这个数列的一个通项公式为an?3
则可在直角坐标系中作出该数列图象如图2.1-6
（大家可以从图上发现数列的图象是一些离散的点，大家想想是为什么呢？主要是由于数列中自变量的取值是一系列离散的点。）
3、递推公式
（在一个由拥有某些共同点的个体组成的总体中，允许个体存在个性。数列作为一种特殊的函数，自然有其个性，我们一起来研究一下这一个个性。） 如果一个数列?an?的首项为a1=1，
从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上1，即
an?2an?1?1(n?1)，
a2?2a1?1?3那么a3?2a2?1?7
...像这样给出数列的方法称为递推法
我们将an?2an?1?1(n?1)称作递推公式。 练习：课本P31 例3
??a1?1?设数列?a?满足an?1?1(n?1)，请写出这个数列的前五项。 ?an?1?n解：
由题意可知
a1?1,a2?1?a3?1?a4?1?a5?1?11?1??2,a11113?1??,a222125?1??,a338138?1??a455
<2>归纳小结
（我们今天探究了数列的几种简单表示法，我们一同来共同回忆一下。）
回顾本节学习的数列的几种简单表示法：通项公式、图象法、列表法、递推公式，与函数的表示法进行类比。 <3>作业布置
P33 习题2.1 A组 2、3、4、5、6
风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。 春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。 我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。 只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老，不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高楼雁一声？ 如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也都已启程 却忽然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。 我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间 三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。 这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；这是希望之春，这是失望之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。 我有所感事，结在深深肠。 你一定要“离开”才能开展你自己。所谓父母，就是那不断对着背影既欣喜又悲伤，想追回拥抱又不敢声张的人。 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围，就是他的世界。因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。 刻意去找的东西，往往是找不到的。天下万物的来和去，都有他的时间。 与善人居，如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。 曾经沧海难为水，除却巫山不是云。 回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。 半生闯荡，带来家业丰厚，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终点，归根到底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，朴素，但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难，就可以问老天要多少人生。心，若没有栖息的地方，到哪里都是流浪...如果有来生，要做一只鸟，飞越永恒，没有迷途的苦恼。东方有火红的希望，南方有温暖的巢床，向西逐退残阳，向北唤醒芬芳。如果有来生，希望每次相遇，都能化为永恒。不乱于心，不困于情。不畏将来，不念过往。如此，安好。 笑，全世界便与你同声笑，哭，你便独自哭。 一辈子，不说后悔，不诉离伤。上帝作证，我是真的想忘记，但上帝也知道，我是真的忘不了 如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了，一半一半，选哪一半都很困难，所以这才是选择。跟着你，在哪里，做什么，都好。眠。我倾尽一生，囚你无期。择一人深爱，等一人终老。痴一人情深，留一世繁华。断一根琴弦，歌一曲离别。我背弃一切，共度朝夕。 人总是在接近幸福时倍感幸福，在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过，留下的且当珍惜 我相信，真正在乎我的人是不会被别人抢走的，无论是友情，还是爱情。我还是相信，星星会说话，石头会开花，穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后，你终会抵达！ 每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光，提醒我，若不学会遗忘，就背负绝望。 那一年夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最后。 如果一开始就知道是这样的结局，我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。 黄昏是一天最美丽的时刻，愿每一颗流浪的心，在一盏灯光下，得到永远的归宿。 因为有了因为，所以有了所以。既然已成既然，何必再说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦，会照亮你的路。 我希望有个如你一般的人。 如这山间清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上阳光一般的人，温暖而不炙热，覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚，由山野到书房，一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人，贯彻未来，数遍生命的公路牌。 岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生，风雪是你，成多每内淡是你，清贫是你，荣华是你，心底温柔是你，并用光所内为界，也是你。个人的遭遇，命运的多舛都使我被迫成熟，这一切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏,是一个关于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过很多的朋友,没有谁像你一样的温柔,每当你牵起我的手,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。 有些人，有些事,是不是你想忘记,就真的能忘记?也许有那么一个时侯，你忽然会觉得很绝望，觉得全世界都背弃了你，活着就是承担屈辱和痛苦。这个时候你要对自己说，没关系，很多人都是这样长大的。风平浪静的人生是中年以后的追求。当你尚在年少，你受的苦，吃的亏，担的责，扛的罪，忍的痛，到最后都会变成光，照亮你的路。 你要做一个不动声色的大人了。不准情绪化，不准偷偷想念，不准回头看。去过自己另外的生活。你要听话，不是所有的鱼都会生活在同一片海里。有人说，鲁迅是杂文，胡适是评论；鲁迅是酒，胡适是水。酒让人看到真性情，也看到癫狂，唯有水，才是日常所需，是真生活。有时候会很自豪地觉得，我唯一的优势就是，比你卑微。于是自由。再也读不到传世的檄文，只剩下廊柱上龙飞凤舞的楹联。再也找不见慷慨的遗恨，只剩下几座既可凭吊也可休息的亭台。再也不去期待历史的震颤，只有凛然安坐着的万古湖山。 呼兰河这小城里边，以前住着我的祖父，现在埋着我的祖父。 诗意上来时，文字不要破坏它。 水，看似柔顺无骨，却能变得气势滚滚，波涌浪叠，无比强大；看似无色无味，却能挥洒出茫茫绿野，累累硕果，万紫千红；看似自处低下，却能蒸腾九霄，为云为雨，为虹为霞…… 一切达观，都是对悲苦的省略 我们孩还发多夫道知道了，就得看不我们后心回的”家“，不是起用看把一个有邮递区号、邮差找得到的家，后心天能们后心回的”家“，不是空于而，风每都到小是一段时光。 它们能够躲过所有凝视的目光，却躲不过那些出其不意投来的目光。 中国人对待自然环境与外国人截然不同，外国人注意到的是人如何改变土地，而中国人关注的是土地怎样改变了人。、堂皇转眼凋零，喧腾是短命的别名。在流光溢彩的日子里，生命被铸上妖冶的印记。托尔斯泰说：“忧来无方，窗外下雨，坐沙发，吃巧克力，读狄更斯，心情又会好起来，和世界妥协。” 成熟是一种明亮而不刺眼的光辉，一种圆润而不腻耳的声响，一种不再需要对别人察言观色的从容，一种终于停止向周围申诉求告的大气，一种不理会喧闹的微笑，一种洗刷了偏激的淡漠，一种无需声张的厚实，一种能够看的很远却并不陡峭的高度。我不要天堂，我只要底线。因为没有底线，就没有自由。 宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。 如果你想知道周围有多么黑暗，你就得留意远处的微弱光线。如果我没有刀，我就不能保护你。如果我有刀，我就不能拥抱你。“今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧，今天比昨天快乐。这就是成功。” 没有悲剧就没有悲壮，没有悲壮就没有崇高 我们都在阴沟里，但仍有人仰望星空。 没有人性的觉醒，权力与财富只使人更粗鄙堕落。 满地都是六便士，他却抬头看见了月亮。走出酒吧的那一刹，我被遽然刺来的阳光下了一跳。闭上眼，我想起了我的收音机。它已经很旧很老，退役多年了。
[中学联盟]河南省周口市第三高级中学人教版高中数学必修五：2.1数列的概念与简单表示法 教学设计完美版
