专题22 以特殊的平行四边形为背景的证明与计算
考点分析
【例1】（2020·安徽初三）（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；（2）24cm；（3）存在，过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，证明见解析. 【解析】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO， 由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF， 在△AOE和△COF中，
??EAO??FCO?∵?OA?OC， ??AOE??COF?∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形； （2）∵四边形AFCE是菱形， ∴AF=AE=10cm，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， ∴S△ABF=
1AB?BF=24cm2， 22
）2
2
2
2
∴AB?BF=48（cm），
∴AB+BF=（AB+BF-2AB?BF=（AB+BF）-2×48=AF=100（cm）， ∴AB+BF=14（cm）
∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．
（3）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点． 当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC， ∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°， ∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形． ∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP， 由作法得∠AEP=90°， ∴△AOE∽△AEP， ∴
2
2
AEAO?，则AE2=AO?AP， APAE∵四边形AFCE是菱形，
1AC， 221∴AE=AC?AP， 2∴AO＝
∴2AE=AC?AP． 【点睛】
本题考查翻折变换（折叠问题）；菱形的判定；矩形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理，正确推理论证是解题关键．
【例2】（2019·江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，正方形ABCD的边长为6，把一个含30°的直角
2
三角形BEF放在正方形上，其中∠FBE＝30°，∠BEF＝90°，BE＝BC，绕B点转动△FBE，在旋转过程中， （1）如图1，当F点落在边AD上时，求∠EDC的度数；
（2）如图2，设EF与边AD交于点M，FE的延长线交DC于G，当AM＝2时，求EG的长； （3）如图3，设EF与边AD交于点N，当tan∠ECD＝
1时，求△NED的面积． 3
【答案】（1）15°；（2）3；（3）【解析】
18 5解：（1）如图1中，作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M．则四边形EMCH是矩形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵BC＝BE， ∴AB＝BE＝CD，
?BF?BF在Rt△BFA和Rt△BFE中，?，
AB?BE?∴Rt△BFA≌△Rt△BFE（HL）， ∴∠ABF＝∠EBF＝30°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠EBC＝30°， ∴EH＝MC＝
11BE＝CD， 22∴DM＝CM，
∵EM⊥CD， ∴ED＝EC， ∵∠BCE＝
1（180°﹣30°）＝75°， 2∴∠EDC＝∠ECD＝15°． （2）如图2中，连接BM、BG．
∵AM＝2， ∴DM＝AD﹣AM＝4，
由（1）可知△BMA≌△BME，△BGE≌△BGC， ∴AM＝EM＝2，EG＝CG， 设EG＝CG＝x，则DG＝6﹣x． 在Rt△DMG中，MG＝DG+DM， ∴（2+x）2＝（6﹣x）2+42， ∴x＝3， ∴EG＝3．
（3）如图3中，连接BN，延长FE交CD于G，连接BG．
2
2
2
AN＝NE，EG＝CG， ∵BE＝BC， ∴BG垂直平分CE，
∴∠ECG+∠BCG＝90°，∵∠GBC+∠ECB＝90°， ∴∠ECD＝∠GCB，
∴tan∠GBC＝tan∠ECD＝
1， 3CG1＝， BC31∴CG＝BC＝2，
3∴∵CD＝6，
∴DG＝CD﹣CG＝4，设AN＝EN＝y，则DN＝6﹣y， 在Rt△DNG中，（6﹣y）+4＝（2+y）， 解得：y＝3，
∴AN＝NE＝3，DN＝3，NG＝5， ∴S△NED＝
2
2
2
33118?S△DNG＝××3×4＝． 5525【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 考点集训
1．（2020·陕西初三期中）问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB=63，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得∠AP′B＝ °，所以∠BPC＝∠AP′B＝ °，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为 ，问题得到解决．
（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝ °，∠BPC＝∠AP′B＝ °，等边三角形ABC的边长为 ．
（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝5，PB＝2，PC＝1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
2020年中考数学基础题型提分讲练 专题22 以特殊的平行四边形为背景的证明与计算(含解析)
