（ii）解：如图，在平行四边形 BCDG 中∵ BG ? CD ， CD ? GD ， ∴ BG ? GD
以G 为原点建立空间直角坐标系O ? xyz 则G ?0, 0, 0?, P ?0, 0, 2?, D ?0, 2, 0? ，
A?0, ?2, 0?, B ?2, 0, 0?, C ?2, 2, 0?, M ?0, ?1,1??
?
PB ? ?2, 0, ?2?,GB ? ?2, 0, 0 ?,GM ? ?0, ?1,1 ??∴
?
平面 PAD 的法向量为
（1,0,0）
11 （1,1,3）
11
平面 BMD 的法向量为锐二面角的余弦值为
（Ⅱ）设 AM ? ?AP ? ??0, 2, 2? ? ?0, 2?, 2??,?? ?0,1??∴ M ?0, 2?? 2, 2??平面 BMG 的法向量为(0,?,1? ?)
（过程略）解得 ??
1
3
18.
（1） x2 y2 ?
? ?1 4 3
（2） ?i? 设点 M 的坐标为(-4,m）
当 m ? 0 时，AB 与 x 轴垂直，F 为 AB 的中点,OM 平分 AB 显然成立 当 m ? 0 由已知可得： K? ? ,? K ?
AB MF
m 3
3
则直线 AB 的方程为： y ?
m
(x ?1)
m
3
联立消去 y 得：
(m2 ?12)x2 ? 24x ? 4m2 ?12 ? 0 ，
12 (? , 3m )
AB 中点 P 的坐标为 m2 ?12 m2 ?12
m y ? ? x OM： 所以 P 在直线 OM 上.综上 OM 平分线段 AB. 又因为直线
4
由韦达定理得
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?ii?当 m ? 0
?
MF 2 ? 时， AB 2
(m2 ? 9)2 2
m ? 9 AB ? 4 , MF ??当m ? 0 时，由(i) 可知 (m2 ?12)2
?
?
MF 1 9
? 6 ? 1 ? m2 ? 9 ??2
m ? 9 AB 4
又
2 ?
MF ∴m=0 时， AB 最小，点 M 的坐标为(-4,0)
2
1
19.
(1) 由题,当 n ? 1 时, a
2
2
? 2S ? 5 ,即 a2 ? 2a ? 5
1
2
1
2
当 n ? 2 时, a n?1 ? n ? 3 …② n?1 ? 2Sn ? n ? 4 …① an ? 2S
2
2
2a ?2a n ?1,整理得 a n?1 2 ? ?a ①-②得a2 . n ? n ?1 ? an ?1?,又因为各项均为正数的数列?n
故 an?1 ? an ? 1 ,?an?是从第二项的等差数列,公差为 1. 又 a2 ?1 , a3 , a7 恰为等比数列?bn?的前 3 项,
a ? 3 .又 a? 2a ? 5 , 故 a 2 ? ?a ?1? a ? ?a ?1?? ?a ?1??a ? 5? ,解得
2
3 2 7 2 2 2 2 2
2 1
故 a1 ? 2 ,因为 a2 ? a1 ? 1也成立.
故?an?是以 a1 ? 2 为首项,1 为公差的等差数列.故 an ? 2 ? n ?1 ? n ?1 .
即 2, 4,8 恰为等比数列?b ?的前 3 项,故?b ?是以b ? 2 为首项,公比为 ? 2 的等比数列.
n
n
1
4
2
a ? n ?1, b ?故b n? 2.综上 n n 2
(2）
nbn n n
?2n?1 ?2n
??anan?1 n ? 2 n ?1
， 单增，所以T 的最小值为 1/3 ?T ?2n?1
n n
Tn ??n ? 2 ?1
前 n 项和为
所以
2020 ，所以 m 的最大整数是 673. m ? 3
（3） 过程略n ? 3, c ? 2n?1 ，又 符合 c1 ? 1, c 2 ? 2 n
所以
n?1
c n? 2
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20. （1）极大值 ln 2 1
? 无极小值； 2 2
(2)
即 a ??
1
在区间?0,1? 上恒成立.
x cos?1? x??
x? ? x cos?1? x? x? ? cos?1? x? ? x sin ?1? x? ? 0 在区间?0,1? 上恒成立. 设t ? ，则t?? x? ? x cos?1? x? 在?0,1? 单调递.增，则0 ? t ? x? ? 1 ， 所以t ?
所以 a ? 1.
x ? ? sin ?1 ? x ? ? ln x 在区间(3) 由（2）可知当 a ? 1 时，函数G ? ?0,1? 上递增，
? ln x ? G ?1? ? 0 ，即sin ?1 ? x? ? ln 所以sin?1? x?
所以
1
x
?0 ? x ? 1? ，
1 (k ?1)(k ? 3) (2 ? k )2 . sin ? sin[1??] ? ln (2 ? k )2 (2 ? k )2 (k ?1)(k ? 3)
.
求和即可得证（略）
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天津市塘沽一中2020届高三毕业班第二次模拟考试及答案解析：数学
