第一章 集合与常用逻辑用语 1.4充分条件与必要条件
本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一， 它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。
从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．
“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.
课程目标 学科素养 A.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念； 1.数学抽象：充分条件、必要条件、充要条件的含义； B.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件． 2.逻辑推理：判断命题的充分C.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真条件、必要条件、充要条件； 假. 3..直观想象：对条件的判定应D.在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质． 该归结为判断命题的真假。
1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；
2.教学难点：命题条件充要性的判断及其证明。
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教学过程 一、情景引入，温故知新 情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常), 记p:闭合开关A, q:灯泡亮。 请把这个电路图改写为“若p，则q”形式的命题并判断真假。 落实核心素养目标 通过初中所学及实例，让学生感知、了解，进而概括出充分条件与必要条件的含义。提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。 【答案】真命题 情景2：记p:x >2, q:x >0 。 判断命题“若x >2 ，则 x >0”的真假。 【答案】真命题 二、探索新知 通过命题真假的判探究一 充分条件与必要条件的含义 定，归纳出充分条1.思考:下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假件、必要条件的含义。 命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； 2（3）若x?4x?3?0,则x?1; （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。 【答案】（1）真 (2)假 (3) 假 （4）真 2、归纳新知 （1）充分条件、必要条件的含义 q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命一般地,用p、 题q也成立,即p?q,那么p叫做q的充分条件, p叫做q 的必要通过思考，进一条件.
步理解充分条件、必2 P足以导致q,也就是说条件p充分了； 要条件的含义，教会q是p成立所必须具备的前提. （2） 学生解决和研究问题。 通过例题进一步巩固充分条件的含义，提高学生解决问题的能力。 如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作p??q。此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。3.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若x?4x?3?0,则x?1; （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。 【解析】（1）、（4）中，p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）、（3）中， p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q的 充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形; 2（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似;(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若x2?1,则x?1;(5)若a?b,则ac?bc;(6)若x,y为无理数，则xy为无理数。通过思考理解充分条件的不唯一。 通过例题进一步巩【解析】（1）这是一条平行四边形的判定定理，p?q， 固必要条件的含义，所以p是q的充分条件； 提高学生解决问题(2)这是一条相似三角形的判定定理，p?q，所以p是q的充分条的能力。 件； （3）这是一条菱形的性质定理，p?q,所以p是q的充分条件; 2，但-1?1,p??q, 所以p不是q的充分条件。 （4）由于(?1)?1 （5）由等式的性质知，p?q，所以p是q的充分条件。 （6）2为无理数，但2?2?2为有理数，p??q，所以p不 是q的充分条件。 4、思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充 分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充 分条件吗？ 【解析】四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其充分条件。 结论：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立
3 通过思考理解必要条件的不唯一。 的一个充分条件。 例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 q是p的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角 分别相等;（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例; (3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形为菱形；（4）若x?1,则x2?1;(5)若ac?bc,则a?b;(6)若xy为无理数，则x、y为无理数。解：（1）这是一条平行四边形的性质定理，P?q，所以q是p的必要条件； （2）这是一条相似三角形的性质定理，P?q，所以q是p的必要条件； （3）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形p??q，所以q不是p的必要条件； （4）显然P??q， 所以q不是p的必要条件。 （5）由于 (?1)?0?1?0,但?1?1,p??q,所以q不是p的必要条件； 通过判断命题及其逆命题的真假，概括归纳充要条件的定义，提高学生的抽象概括能力。 提高例题进一步巩固充要条件。 通过思考理解充要条件的不唯一。 （6）由于1?2=2为无理数，但1，2不全是无理数，p??q，提高例题掌握充要所以q不是p的必要条件。 条件的证明方法，提思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要高学生解决问题的条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要能力。去体验知识方条件吗？ 法。发现并提出数学【解析】四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，问题，应用数学语言四边形的两条对角线互相平分都是其必要条件。 【结论】一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。 探究二 充要条件的含义 1.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； 2（3）若一元二次方程ax?bx?c?0有两个不相等的实数根，则予以表达。 4 ac?0。 （4）若AUB是空集，则A与B均是空集。 【解析】命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。 2.定义：一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作：p?q, 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。其中?叫做等价符号。p?q表示p?q且q?p。 例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； （2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； （3）p:xy>0,q:x>0,y>0; (4) p:x=1是一元二次方程ax2?bx?c?0的一个根，q:a?b?c?0(a?0)。 解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以q??p，所以p不是q的充要条件。 （2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即p?q，所以P是q的充要条件。 （3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以 p??q，所以p不是q的充要条件。 （4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p?q， 所以P是q的充要条件。 3.探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 【解析】四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行都是它的充要条件。 例4 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d。求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件。 解析:设p：d?r，q：直线l与⊙O相切。要证p是q的充要条件，只需证明充分性（p?q）和必要性（q?p）即可。 解：教材P22 点评：在处理充分和必要条件问题时，首先应分清条件和结论，然后才能进行推理和判断。
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《1.4 充分条件与必要条件》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
