23化简得：y?(x12?4x1?3)x?(?x1（11???????????????????????????2x12)，
3分） 而过
B(x2，
y2)的切线方程是
2322y?(x2?4x1?3)x?(?x2?2x2)3，
??????????????????????????(，
由于两切线是同一直线，
2?4x1?3，得x1?x2?4，??????????????????????（13则有：x12?4x1?3?x2分）
2232又由?x13?2x12??x2， ?2x23322即?(x1?x2)(x12?x1x2?x2)?2(x1?x2)(x1?x2)?0
3122?12?0 ?(x12?x1x2?x2)?4?0，即x1(x1?x2)?x2322?12?0，x2?4x2?4?0 即(4?x2)?4?x2得x2?2，但当x2?2时，由x1?x2?4得x1?2，这与x1?x2矛盾． 所
以
不
存
在
一
条
直
线
与
曲
线
C同时切于两
点．??????????????????????????????????（16分）
20．（16分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1?1，且anSn?1?an?1Sn?an?1??an，对一切n?N*都成立．
（1）当??1时；
①求数列{an}的通项公式；
②若bn?(n?1)an，求数列{bn}的前n项的和Tn；
（2）是否存在实数?，使数列{an}是等差数列如果存在，求出?的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）①当??1时，anSn?1?an?1Sn?an?1?an， 则anSn?1?an?an?1Sn?an?1， 即(Sn?1?1)an?(Sn?1)an?1．
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Q数列{an}的各项均为正数，
??an?1Sn?1?1． ?anSn?1a2a3an?1S2?1S3?1Sn?1?1， g??g?a1a2anS1?1S2?1Sn?1化简，得Sn?1?1?2an?1，①
?当n…2时，Sn?1?2an，②
②?①，得an?1?2an，
Q当n?1时，a2?2，?n?1时上式也成立，
?数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，即an?2n?1．
②由①知，bn?(n?1)an?(n?1)g2n?1．
Tn?b1?b2???bn?2g1?3g21???(n?1)g2n?1， 2Tn?2g2?3g22???ng2n?1?(n?1)g2n，
两式相减，可得
?Tn?2?2?22???2n?1?(n?1)g2n
2?2n?2??(n?1)g2n
1?2??ng2n．
?Tn?ng2n．
（2）由题意，令n?1，得a2???1；令n?2，得a3?(??1)2． 要使数列{an}是等差数列，必须有2a2?a1?a3，解得??0． 当??0时，Sn?1an?(Sn?1)an?1，且a2?a1?1．
2时，Sn?1(Sn?Sn?1)?(Sn?1)(Sn?1?Sn)， 当n…2?Sn?Sn?1Sn?1?Sn?1，即整理，得SnSn?1Sn?1， ?Sn?1?1Sn从而
S2?1S3?1Sn?1S3S4Sn?1， g??g?S1?1S2?1Sn?1?1S2S3Sn化简，得Sn?1?Sn?1，即an?1?1．
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综上所述，可得an?1，n?N*．
???0时，数列{an}是等差数列．
?a?1?21．（10分）已知矩阵A???，其中a，b?R，点P(2,2)在矩阵A的变换下得到的点b1??Q(2,4)．
（1）求实数a，b的值； （2）求矩阵A的逆矩阵．
a?122【解答】解：（1）因为[][]?[]，
b124?2a?2?2?a?2所以?所以?；
2b?2?4b?1??（2）det(A)?|131?32?1|?3?0， 11?23?1313?1313]． 23所以A?1?[]?[22．（10分）在极坐标系中，已知A(1,)，B(9,)，线段AB的垂直平分线l与极轴交于点
33??C，求l的极坐标方程及?ABC的面积．
?【解答】解：由题意，线段AB的中点坐标为(5,)，
3设点P(?,?)为直线l上任意一点， 在直角三角形OMP中，?cos(??)?5，
3所以，l的极坐标方程为?cos(??)?5，（6分）
3令??0，得??10，即C(10,0)．（8分）
1?所以，?ABC的面积为：?(9?1)?10?sin?203．（10分）
231?m(x?)?2,x?0??x23．（10分）已知函数f(x)??是奇函数．
1?2(x?)?n,x?0?x???（1）求实数m，n的值；
0成立．求实数?的取值范围． （2）若对任意实数x，都有f(e2x)??f(ex)…第18页（共20页）
1?m(x?)?2,x?0??x【解答】解：（1）函数f(x)??是奇函数．
1?2(x?)?n,x?0?x?1当x?0时，那么?x?0，则f(?x)?2(?x?)?n，
xf(x)是奇函数，f(?x)??f(x)，
111?2(?x?)?n?m(x?)?2恒等，即(m?2)(x?)?(n?2)?0，
xxx???m?2?0
n?2?0?可得m?n?2；
（2）由e2x?0，ex?0，
?f(e2x)??f(ex)…0成立转化为2(e2x?11x)?2?(e?)?2?…0 e2xex令t?ex?1，则t…2， ex?t2??t???3…0在t…2上恒成立，
记g(t)?t2??t???3在t…2上恒成立，
当??2时，即?…?4时，g(t)min?g（2）???1…0，
2解得?…?1， 可得?…?1． 当???0， ?2时，即???4时，g(t)min?g(?)?????3…242??2显然与???4矛盾
综上，可得实数?的取值范围[?1，??)． 24．（10分）已知(1?x)（1）求T2的值；
（2）化简Tn的表达式，并证明：对任意的n?N*，Tn都能被4n?2整除．
i【解答】解：由二项式定理，得ai?C2n?1(i?0，1，2，?，2n?1)；
2n?1?a0?a1x?a2x???a2n?1x22n?1，n?N*．记Tn??(2k?1)an?k．
i?0n10?5C5?30；?（1）T2?a2?3a1?5a0?C52?3C5?（2分）
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(2n?1)!n?1?k（2）因为(n?1?k)C2 n?1?(n?1?k)g(n?1?k)!(n?k)!?(2n?1)g(2n)!
(n?k)!g(n?k)!n?k?(2n?1)C2?（4分） n，?所以Tn??(2k?1)an?k
k?0n?k??(2k?1)C2n?1 k?0nn?1?k??(2k?1)C2n?1 k?0nn(Tex translation failed)
?2?(n?1?k)Ck?0nn?1?k2n?1n?1?k?(2n?1)?C2n?1
k?0nn?2(2n?1)?Ck?0nn?k2nn?1?k?(2n?1)?C2n?1
k?012n12n?1n?2(2n?1)gg(2?C2)?(2n?1)gg2 n22n?(2n?1)C2?（8分） n；?nn?1nnTn?(2n?1)C2n?(2n?1)(C2n?1?C2n?1)?2(2n?1)C2n?1；
n*因为C2?（10分） n?1?N，所以Tn能被4n?2整除；?n注意：只要得出Tn?(2n?1)C2，不必要看过程． n，就给（8分）
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2020年江苏省南通市四校联盟高考数学模拟试卷（3月份）
