因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O， 所以O点是AC的中点，所以AO?OC． 又因为点P是侧棱C1C的中点，所以CP?PC1， 在?ACC1中，
AOC1P??1， OCPC所以AC1//OP，
又因为OP?面PBD，AC1??面PBD， 所以AC1//平面PBD． （2）连结A1C1．
因为ABCD?A1B1C1D1为直四棱柱， 所以侧棱C1C垂直于底面ABCD， 又BD?平面ABCD， 所以CC1?BD， 因为底面ABCD是菱形， 所以AC?BD，
又ACICC1?C，AC?面AC1，CC1?面AC1， 所以BD?面AC1，
又因为P?CC1，CC1?面ACC1A1， 所以P?面ACC1A1， 因为A1?面ACC1A1， 所以A1P?面AC1， 所以BD?A1P．
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16．（14分）在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB?（1）若c?2a，求（2）若C?B?sinB的值； sinC4． 5?4，求sinA的值．
【解答】（本小题满分14分） 解：（1）在?ABC中，因为cosB?4， 5a2?c2?b24所以?．
2ac5因为c?2a，
c()2?c2?b2b2942所以， ?，即2?c5c202c?2b35， ?c10sinBb由正弦定理得?，
sinCc所以
sinB35． ?sinC1047（2）因为cosB?，所以cos2B?2cos2B?1?．
255所以：
又0?B??，
33424所以sinB?1?cos2B?，所以sin2B?2sinBcosB?2???．
55525因为C?B??4，即C?B??4，
所以A???(B?C)?所以sinA?sin(3??2B， 43?3?3?27224312． ?2B)?sincos2B?cossin2B???(?)??44422522550x2y217．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，
ab第12页（共20页）
3且过点(1,)．过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，
2uuuruuuruuurOA?OB?tOP(t?0)． 且满足
（1）求椭圆C的标准方程； （2）若t?2，求直线AB的方程． 2
【解答】解：（1）由题意可知，c?1，且解得a?2,b?3，
19?2?1，又因为a2?b2?c2， 2a4bx2y2所以椭圆C的标准方程为??1；
4333（2）若直线AB的斜率不存在，则易得A(1,),B(1,?)，
22uuurr2uuu?OA?OB?(2,0)?OP，得P(22,0)，显然点P不在椭圆上，舍去；
2因此设直线l的方程为y?k(x?1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ?y?k(x?1)?将直线l的方程与椭圆C的方程联立?x2y2，
??1?3?4整理得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0，
因为x1,24k2?6k2?18k2?，所以x1?x2?，
3?4k23?4k2uuuruuurr2uuu则由OA?OB?(x1?x2,k(x1?x2?2))?OP，
2得P(2(x1?x2),2k(x1?x2?2))
将P点坐标代入椭圆C的方程，得3(x1?x2)2?4k2(x1?x2?2)2?6(*)；
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64k48k28k22将x1?x2?代入等式(*)得3??4k?(?2)2?6； 2222(3?4k)3?4k3?4k化简得：16k4?9，即：k2??k??3， 43， 23(x?1) 2故所求直线AB的方程为y??18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，
CE为路灯灯杆，CD?AB，?DCE??MEN?2?，在E处安装路灯，且路灯的照明张角3?3．已知CD?4m，CE?2m．
（1）当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN； （2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．
【解答】解：（1）当M，D重合时，
CEgcos?DCE?27， 由余弦定理知，ME?DE?CD2?CE2?2CDgCD2?DE2?CE257所以cos?CDE?， ?2CDgDE14因为?CDE??EMN??2，
57， 14所以sin?EMN?cos?CDE?因为cos?EMN?0，
所以cos?EMN?1?sin2?EMN?因为?MEN?21， 14?3，
2?2?2?27． ??EMN)?sincos?EMN?cossin?EMN?333773MNEM，解得MN?； ?2sin?MENsin?ENM第14页（共20页）
所以sin?ENM?sin(?在?EMN中，由正弦定理可知，
（2）易知E到地面的距离h?4?2sin(2???)?5m， 3211?由三角形面积公式可知，S?EMN?gMNg5?EMgENgsin，
22310所以MN?EMgEN，
3又由余弦定理可知，MN2?EM2?EN2?2EMgENgcos…EMgEN，
3当且仅当EM?EN时，等号成立， 10103所以MN2…MN，解得MN…；
33?答：（1）路灯在路面的照明宽度为73103（2）照明宽度MN的最小值为m． m；
32119．（16分）已知函数f(x)?x3?2x2?3x(x?R)的图象为曲线C．
3（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）f?(x)?x2?4x?3，则f?(x)?(x?2)2?1…?1，
即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[?1，??)；????????????（4分） （
2
）
由
（
1
）
可
知
，
?k…?1???????????????????????????????????????????????????????????1?…?1??k（6分）
1 1，由?1?x2?4x?3?0或x2?4x?3…解得?1?k?0或k…得：x?(??，
2?2]U(1,3)U[2?2，??)；
???????????????????????????????（9分）
（3）设存在过点A(x1，y1)的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2，y2)，x1?x2， 13则切线方程是：y?(x1?2x12?3x1)?(x12?4x1?3)(x?x1)，
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2020年江苏省南通市四校联盟高考数学模拟试卷（3月份）
