2020年江苏省南通市四校联盟高考数学模拟试卷（3月份）
一、填空题（共14题，每题5分，计70分.不写解答过程，把答案写在答题纸指定位置上） 0}，则AIB? ． 1．（5分）已知集合A?{x||x?3|?1}，B?{x|x2?5x?4…2，（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数为 ． 1?irrrr3．（5分）设向量a?(1,k)，b?(?2,k?3)，若a//b，则实数k的值为 ．
2．（5分）复数z?4．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．
5．（5分）函数f(x)?log1(4x?3)的定义域为 ．
26．（5分）已知命题p:?1?x?a?1，命题q:(x?4)(8?x)?0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
7．（5分）在正四棱锥S?ABCD中，点O是底面中心，SO?2，侧棱SA?23，则该棱锥的体积为 ．
8．（5分）若函数f(x)?cos(2x??)(0????)的图象关于直线x??12对称，则?? ．
x2y219．（5分）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率e?，A，B是椭圆的左、右顶点，Pab2cos(???)是椭圆上不同于A，直线PA，则?，? ． B的一点，PB倾斜角分别为?，
cos(???)uuuruuuruuuruuuruuuruuurPAgPBruuur? ．10．（5分）在?ABC所在的平面上有一点P，满足PA?PB?PC?AB，则uuu PBgPC11．（5分）如图，将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列a1，a2，a5，?构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列，若a3?5，a86?524，则d? ．
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12．（5分）已知x?(0,3)，则y?2x?81的最小值为 ?x?32x13．（5分）若函数f(x)?x3?ax?|x?2|，x?0存在零点，则实数a的取值范围为 ． 14．（5分）已知f(x)?m(x?2m)(x?m?3)，g(x)?2x?2，若同时满足条件： ①?x?R，f(x)?0或g(x)?0； ②?x?(??,?4)，f(x)g(x)?0． 则m的取值范围是 ．
二、解答题（共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（14分）如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．
（1）求证：AC1//平面PBD； （2）求证：BD?A1P．
16．（14分）在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB?（1）若c?2a，求（2）若C?B?sinB的值； sinC4． 5?4，求sinA的值．
x2y217．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，
ab3且过点(1,)．过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，
2uuuruuuruuur且满足OA?OB?tOP(t?0)． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若t?2，求直线AB的方程． 2第2页（共20页）
18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，
2?，在E处安装路灯，且路灯的照明张角3CE为路灯灯杆，CD?AB，?DCE??MEN??3．已知CD?4m，CE?2m．
（1）当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN； （2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．
119．（16分）已知函数f(x)?x3?2x2?3x(x?R)的图象为曲线C．
3（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
20．（16分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1?1，且anSn?1?an?1Sn?an?1??an，对一切n?N*都成立．
（1）当??1时；
①求数列{an}的通项公式；
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②若bn?(n?1)an，求数列{bn}的前n项的和Tn；
（2）是否存在实数?，使数列{an}是等差数列如果存在，求出?的值；若不存在，说明理由．
?a?1?21．（10分）已知矩阵A???，其中a，b?R，点P(2,2)在矩阵A的变换下得到的点b1??Q(2,4)．
（1）求实数a，b的值； （2）求矩阵A的逆矩阵．
22．（10分）在极坐标系中，已知A(1,)，B(9,)，线段AB的垂直平分线l与极轴交于点
33??C，求l的极坐标方程及?ABC的面积．
1?m(x?)?2,x?0??x23．（10分）已知函数f(x)??是奇函数．
1?2(x?)?n,x?0?x?（1）求实数m，n的值；
0成立．求实数?的取值范围． （2）若对任意实数x，都有f(e2x)??f(ex)…24．（10分）已知(1?x)（1）求T2的值；
2n?1?a0?a1x?a2x???a2n?1x22n?1，n?N*．记Tn??(2k?1)an?k．
i?0n（2）化简Tn的表达式，并证明：对任意的n?N*，Tn都能被4n?2整除．
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2020年江苏省南通市四校联盟高考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14题，每题5分，计70分.不写解答过程，把答案写在答题纸指定位置上） 0}，则AIB? {4} ． 1．（5分）已知集合A?{x||x?3|?1}，B?{x|x2?5x?4…【解答】解：根据题意，对于集合A，|x?3|剟1?2x?4，则A?{x|2剟x4}， 对于集合B，由x2?5x?4厔0?x1或x…4，则B?{x|x?1或x…4}， 则AIB?{4}， 故答案为{4}．
2．（5分）复数z?21?i，（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数为 1?i ．【解答】解：z?22(1?i)1?i?(1?i)(1?i)?1?i，
则复数z的共轭复数为：1?i． 故答案为：1?i．
3．（5分）设向量ar?(1,k)，br?(?2,k?3)，若ar//br，则实数k的值为 1 ． 【解答】解：Q向量ar?(1,k)，br?(?2,k?3)，ar//br，
??2k?k?3，
解得k?1，
?实数k的值为1．
故答案为：1．
4．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为
1011 ．
【
解
答
】
解
：
模
拟
执
行
伪
代
码
，
可
S?0?11?2?12?3???110?11?(1?12)?(12?13)???(1111010?11)?1?11?11． 第5页（共20页）
得
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2020年江苏省南通市四校联盟高考数学模拟试卷（3月份）
