§3.3 函数的奇偶性与周期性
最新考纲 考情考向分析 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，1.理解并会判断函数的奇偶性． 常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函2.了解函数的周期性、最小正周期的含义. 数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.
1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－图象特点 关于y轴对称 x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－奇函数 2.周期性
x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 概念方法微思考
1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？
提示 在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？ (1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)________． (2)f(x＋a)＝1
(a≠0)________． f?x?
1
(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)________． 提示 (1)T＝2|a| (2)T＝2|a| (3)T＝|a－b|
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x，x∈(－10，＋∞)是偶函数．( × )
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ )
(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ ) 题组二 教材改编
2．[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则
2
f(－1)＝________.
答案 －2
解析 f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
3．[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝
??－4x＋2，－1≤x＜0，?
?x，0≤x＜1，?
2
?3?则f??＝______.
?2?
答案 1
?3??1??1?2
解析 f??＝f?－?＝－4×?－?＋2＝1.
?2??2??2?
4.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由题图可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0. 综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
2
题型一 判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3－x＋x－3； lg?1－x?
(2)f(x)＝；
|x－2|－2
??x＋x，x＜0，
(3)f(x)＝?2
?－x＋x，x＞0.???3－x≥0，
解 (1)由?2
?x－3≥0，?
2
22
222
得x＝3，解得x＝±3，
即函数f(x)的定义域为{－3，3}， ∴f(x)＝3－x＋x－3＝0. ∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
??1－x＞0，
(2)由?
??|x－2|≠2，
2
2
2
x得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
2
lg?1－x?∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝. －xlg[1－?－x?]lg?1－x?
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
2
2
x∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝－(－x)－x＝－x－x＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)－x＝x－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数．
思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
2
2
2
2
3
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或
f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝x＋sin2x 1xC．y＝2＋x
2答案 D
解析 对于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x) ＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；
对于B，f(－x)＝(－x)－cos(－x)＝x－cosx＝f(x)，为偶函数； 11－xx对于C，f(－x)＝2＋－x＝2＋x＝f(x)，为偶函数；
22对于D，y＝x＋sinx既不是偶函数也不是奇函数，故选D. (2)已知函数f(x)＝
，g(x)＝，则下列结论正确的是( ) 2－12
x2
2
2
B．y＝x－cosx D．y＝x＋sinx
2
2
xxA．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数 B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数 C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数 D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数 答案 A
解析 易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}．
－x－xx·2xx?1－2?－xxxx因为f(－x)＋g(－x)＝－x＋＝－－＝x＋＝f(x)＋g(x)， x－＝x2－121－221－222－12所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A. 题型二 函数的周期性及其应用
xx1．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( ) A．2B．1C．－1D．－2 答案 A
解析 ∵f(x＋1)为偶函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)， 又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)， 且f(0)＝0.
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4. ∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.
4
1
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则
－f?x?
f(2020)＝________.
答案 －2－3 解析 由f(x＋2)＝
11
，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以－f?x?－f?x＋2?
111
，所以f(4)＝－＝－＝－2－3.故f(2020)－f?2?f?2?2－3
f(2020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝
＝－2－3.
3．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝
??x?1－x?，0≤x≤1，
?
?sinπx，1 ?29??41?则f??＋f??＝________. ?4??6? 答案 5 16 解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数， 3??7??29??41??所以f??＋f??＝f?2×4－?＋f?2×4－? 4??6??4??6?? ?3??7??3??7?＝f?－?＋f?－?＝－f??－f?? ?4??6??4??6? 3π5＝－＋sin＝. 16616 4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝________. 答案 338 解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)； 当－1≤x<3时，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， 2 2 f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016) 2016＝1×＝336. 6 又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2， 5
(浙江专用)2020版高考数学 函数的奇偶性与周期性讲义(含解析)
