第1课时 一元二次不等式及其解法(一)
1.了解一元二次不等式的有关概念． 2.理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程之间的联系．
3．掌握一元二次不等式的基本解法，并能解决一些实际问题．
, [学生用书P46])
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax＋222Δ＞0 Δ＝0 有两相等实根x1＝x2Δ＜0 bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) {x|x＜x1 或x＞x2} {x|x1＜ b＝－ 2a{x|x≠x1} 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 x＜x2} ? ? 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx－5x<0是一元二次不等式．( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax＋1>0无解．( )
(3)若一元二次方程ax＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1 (4)不等式x－2x＋3>0的解集为R.( ) 解析：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式． (2)错误．因为a>0，所以不等式ax＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R. (3)错误．当a>0时，ax＋bx＋c<0的解集为{x|x1 2．设集合M＝{x|x－x＜0}，N＝{x|x＜4}，则M∪N＝________． 解析：M＝{x|x－x＜0}＝{x|0＜x＜1}， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 N＝{x|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}． 故M∪N＝{x|－2＜x＜2}． 答案：{x|－2＜x＜2} 3．不等式x－2x－5＞2x的解集是________． 解析：由x－2x－5＞2x，得x－4x－5＞0， 因为x－4x－5＝0的两根为－1，5， 故x－4x－5＞0的解集为{x|x＜－1或x＞5}． 答案：{x|x＞5或x＜－1} 4．不等式－3x＋5x－4＞0的解集为________． 解析：原不等式变形为3x－5x＋4＜0. 因为Δ＝(－5)－4×3×4＝－23＜0，所以3x－5x＋4＝0无解． 由函数y＝3x－5x＋4的图象可知，3x－5x＋4＜0的解集为?. 答案：? 解不含参数的一元二次不等式[学生用书P46] 解下列不等式． (1)2x＋5x－3<0； (2)－3x＋6x≤2； (3)4x－4x＋1>0； (4)－x＋6x－10>0. 【解】 122 (1)Δ＝49>0，方程2x＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x＋5x－3的图象．如 2 ??1???. －3 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)原不等式等价于3x－6x＋2≥0. 因为Δ＝12>0，解方程3x－6x＋2＝0， 3－33＋32 得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x－6x＋2的图象，如图所示， 33由图可得原不等式的解集为 ????3－33＋3? ?x?x≤?. 或x≥ 33????? 2 2 12 (3)因为Δ＝0，所以方程4x－4x＋1＝0有两相等实根x1＝x2＝. 2 ???12 作出函数y＝4x－4x＋1的图象如图所示，由图可得原不等式的解集为?x?x≠，x∈R?. 2??? (4)原不等式可化为x－6x＋10<0，因为Δ＝－4<0， 所以方程x－6x＋10＝0无实根，又二次项系数1>0， 所以原不等式的解集为?. 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 1.求下列不等式的解集． (1)2x＋7x＋3>0；(2)－x＋8x－3>0； 8122 (3)x－4x－5≤0；(4)－4x＋18x－≥0； 4(5)－2x＋3x－2<0. 解：(1)因为Δ＝7－4×2×3＝25>0，所以方程2x＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2 ???112 ?＝－.又二次函数y＝2x＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为x?x>－或x<－3?. 22??? 2 2 22 2 2 2 (2)因为Δ＝8－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－13，x2＝4＋13.又二次函数y＝－x＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为 2 22 {x|4－13 (3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}． ??9?9??(4)原不等式可化为?2x－?≤0，所以原不等式的解集为?x?x＝?. 2?4???? 2 (5)原不等式可化为2x－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. 含参数的一元二次不等式的解法[学生用书P47] 2 22 ?1?2 解关于x的不等式x－?a＋?x＋1<0. ? a? ?1?【解】 原不等式可化为(x－a)?x－?<0. ? a? ??1?1 (1)若a>，即－1 a? ?a? 1 (2)若a＝，即a＝－1或a＝1，此时，原不等式的解集为?； a??1?1 ?(3)若a<，即0 a? ?a? a>1时，原不等式的解集为?x? ??a? ??1? －1时，原不等式的解集为?x?a ? ? ?1 ? ?a? 含参数不等式中对参数进行讨论的标准 (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向． (2)讨论判别式符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数． (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．简记为“一a、二Δ、三两根大小”． (4)最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集． 2.解关于x的不等式：ax－(a＋1)x＋1<0(a∈R，a>0)． 2 ?1?解：因为a>0，原不等式等价于?x－?(x－1)<0. ? a? 1?1?①当a＝1时，＝1，?x－?(x－1)<0无解； a?? a?a? 11?1?②当a>1时，<1，解?x－?(x－1)<0，得 aa1?1?③当0 a?a? 1 得1 a综上所述， ??1???； 1 当a＝1时，原不等式的解集为?； ??1? 当a>1时，原不等式的解集为?x? ? ?a? 三个“二次”关系的应用[学生用书P47] ??11?22 若关于x的一元二次不等式ax＋bx＋c<0的解集为?x?x<或x>?，求关于x的不等式cx－ 2???3 bx＋a>0的解集． ??11b5??＋＝－，b＝－a>0， a所以6【解】 由题意知?32 ?11c1 ×＝，c＝???32a?6a<0， a<0，a<0， 1252 代入不等式cx－bx＋a>0中得ax＋ax＋a>0(a<0)． 66125 即x＋x＋1<0， 66化简得x＋5x＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x|－3 若本例变为：已知不等式ax＋bx＋c>0的解集为{x|2 2 2 2 a>0的解集． ??c解：由题意知?2×3＝， a??a<0， 2 2 2＋3＝－， bab＝－5a，?? 即?c＝6a， ??a<0. 代入不等式cx－bx＋a>0， 得6ax＋5ax＋a>0(a<0)． 即6x＋5x＋1<0， 11 解得－ 23 ??11? ?－ 2 应用三个“二次”之间关系解题的策略 (1)当已知某一元二次不等式的解集时，首先应注意判断该一元二次不等式对应的二次函数的图象的开口方向、与x轴的交点坐标等信息；然后根据一元二次不等式的解集，确定对应一元二次方程根的情况；最后由根的情况列出参数所满足的等式(或不等式)，进而求值(或范围)． (2)解决这类问题一般情况是灵活运用根与系数的关系． 32 3.已知关于x的不等式x＞ax＋的解集为{x|2＜x＜b}，求a，b的值． 232 解：原不等式可化为ax－x＋＜0， 2因其解集为{x|2＜x＜b}． 由根与系数的关系， 13 有2＋b＝，2b＝. a2a1 解得a＝，b＝6. 8 1．一元二次不等式概念的理解
2020-2021学年苏教版必修五 一元二次不等式及其解法一 学案
