23 关于平面向量数量积运算的三类经典题型
1．(2014·课标全国Ⅱ改编)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝________. 答案 1
解析 |a＋b|＝(a＋b)＝a＋2a·b＋b＝10， |a－b|＝(a－b)＝a－2a·b＋b＝6， 将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4， ∴a·b＝1.
2．(2014·四川改编)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________. 答案 2
解析 因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，
所以c＝ma＋b＝(m,2m)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．
c·ac·b根据题意可得＝，
|c||a||c||b|
5m＋88m＋20所以＝，
520解得m＝2.
π
3．(2013·江西)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向
3量a在b方向上的投影为________．
5答案
2
解析 a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝∵a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e1＋6e1·e2＝5. |b|＝|2e1|＝2. a·b5∴＝. |b|2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a·b. |b|
4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂
1
→→→
线l，P为垂线上任一点，设OA＝a，OB＝b，OP＝p，则p·(b－a)＝________.
1
答案 －
2
解析 以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴，
O为坐标原点建立平面直角坐标系，
31
则A(1,0)，B(0,1)，C(，)，
4413
直线l的方程为y－＝x－，
44
1
即x－y－＝0.
211
设P(x，x－)，则p＝(x，x－)，
22而b－a＝(－1,1)，
11
所以p·(b－a)＝－x＋(x－)＝－.
22
→→→→→→→→1→
5．在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是
2________．
7
答案 (，2]
2
1
解析 由题意，知B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，为半径的圆的内
2部．
→→→→→又AB1⊥AB2，AP＝AB1＋AB2， 所以点A在以B1B2为直径的圆上， →
当P与O点重合时，|OA|取得最大值2，
1
当P在半径为的圆周上时，
27→
|OA|取得最小值.
2
2
→→→→
6．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，→→
则AB·AD的值是________．
答案 22
→→→1→1→→→→→1→→→→→1→→→
解析 由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－AB＝AD4444
3→→→→1→→3→→21→→3→2－AB.因为AP·BP＝2，所以(AD＋AB)·(AD－AB)＝2，即AD－AD·AB－AB＝2.又因为444216→2
AD＝25，AB2＝64，所以AB·AD＝22.
7．(2014·湖北)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________. 答案 ±3
解析 由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a－λb＝18－2λ＝0，解得λ＝±3. 8．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均为单位向量，
3
且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．
2π答案
23e1·e23，可得cos〈e1，e2〉＝＝， 2|e1||e2|2π5π
故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝. 66解析 由e1·e2＝
2
22
2
→→→
f(e1，e2)＝e1cos －e2sin ＝f(e2，－e1)＝e2cos
π6π631
e1－e2， 22
5π5π13
－(－e1)sin ＝e1－e2. 6622
31133
e1－e2)·(e1－e2)＝－e1·e2＝0， 22222
f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(
所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)．
π
故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.
2
→→→→
9．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，则点→→→
集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是________． 答案 43
→→→→
解析 方法一 (坐标法)由|OA|＝|OB|＝OA·OB ＝2，
π
可得∠AOB＝.
3
又A，B是定点，可设A(3，1)，B(0,2)，P(x，y)．
3
由→OP＝λ→OA＋μ→OB，
?λ＝3
x，可得??
x＝3λ，?y＝λ＋2μ
???
3??μ＝y32－6x.
因为|λ|＋|μ|≤1，
所以|33x|＋|y3
2－6x|≤1.
整理，得2|x|＋|3y－x|≤23.
当x≥0，且3y－x≥0时，不等式为x＋3y≤23； 当x≥0，且3y－x<0时，不等式为3x－y≤2； 当x<0，且3y－x≥0时，不等式为3x－y≥－2； 当x<0，且3y－x<0时，不等式为x＋3y≥－23. 画出不等式所表示的可行域，如图中的阴影部分所示．求得E(0,2)，F(－3，－1)，C(0，－2)，D(3，1)．显然该平面区域是一个矩形，边长EF＝23，ED＝2， 故该平面区域的面积S＝EF×ED＝43.
方法二 (向量法)由|→OA|＝|→OB|＝→OA·→
OB＝2，
知〈→OA，→
OB〉＝π3.
当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB中， 取→OC＝λ→
OA，过点C作CD∥OB交AB于点D， 作OE∥AB交OB于点E， 显然→OD＝λ→OA＋→CD.
由于|CD||OB|＝|AC||AO|＝1－λ，
所以→CD＝(1－λ)→OB.
于是→OD＝λ→OA＋(1－λ)→OB＝λ→OA＋μ→OB＝→OP. 故当λ＋μ＝1时，点P在线段AB上．
4
所以λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△OAB内(包括边界)． 考虑|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R的其他情形， 点P构成的集合恰好是以AB为一边， 以OA，OB为对角线一半的矩形，
1π
其面积S＝4S△OAB＝4××2×2sin ＝43.
23
10．(2014·安徽)已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，
y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成，记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin
表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①S有5个不同的值； ②若a⊥b，则Smin与|a|无关； ③若a∥b，则Smin与|b|无关； ④若|b|>4|a|，则Smin>0；
π2
⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|，则a与b的夹角为. 4答案 ②④
解析 ∵xi，yi(i＝1,2,3,4,5)均由2个a和3个b排列而成，
5
∴S＝? xiyi，可能情况有以下三种：
i＝1
(1)S＝2a＋3b； (2)S＝a＋2a·b＋2b； (3)S＝4a·b＋b.
∵2a＋3b－(a＋2a·b＋2b)＝a＋b－2a·b＝a＋b－2|a||b|cos θ≥0，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
a2＋2a·b＋2b2－4a·b－b2＝a2＋b2－2a·b≥0，
∴S的最小值为Smin＝b＋4a·b.
因此S最多有3个不同的值，故①不正确．
当a⊥b时，S的最小值为Smin＝b与|a|无关，故②正确．
当a∥b时，S的最小值为Smin＝b＋4|a||b|或Smin＝b－4|a||b|与|b|有关，故③不正确． 当|b|>4|a|时，Smin＝b＋4|a||b|cos θ≥b－4|a||b|＝|b|(|b|－4|a|)>0，故④正确． 当|b|＝2|a|时，由Smin＝b＋4a·b＝8|a|知，4a·b＝4a，即a·b＝a，∴|a||b|cos θ2
2
2
2
2
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高考数学二轮复习 专题检测23 关于平面向量数量积运算的三类经典题型
