《正态分布》教学设计
【教学内容解析】
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-3中的2.4《正态分布》第一课时，属于新授概念课．
正态分布是选修2-3第二章随机变量及其分布的最后一节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识.正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型随机变量的分布规律，连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为，所以我们感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修3统计和概率知识的一种拓展.同时本节课内容反映了数形结合的思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异.
生活中除了离散型随机变量更多的是连续型随机变量的例子，因此正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.从形式看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石，它在概率和统计中占有重要的地位.一方面，本节课内容为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述，因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位.
【学生学情分析】
所带班级的学生在通用技术课上自己制作过高尔顿板，课前也已经把高尔顿班的演示实验程序通过pad发送给学生，方便他们分组进行实验研究小球的分布规律.
认知基础方面：学生学习了统计与概率的相关知识，能够画出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图，并根据频率分布直方图和频率分布折线图初步分析数据的分布规律，具有一定的统计思想.大部分学生会用数形结合思想方法研究一些简单的数学问题，能够收集、整理和分析一些简单的统计问题.
但是，本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量，由离散型随机变量的分布列得到连续型随机变量的分布密度函数，这对学生来说是一个挑战，如何认识正态曲线的特点及其表示的意义也是学生学习的难点.
正态曲线的特点和意义学生可通过高尔顿板试验、画频率分布直方图和频率分布折线图的探究活动来学习，正态分布密度函数的得出需要教师给予适度的指导.
【教学目标设置】
课程目标是通过具体实例，认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.在课程目标的指导下，根据前面的分析，确定了本次课的教学目标：
（一）通过数学试验、观察和理性分析，归纳小球分布的规律，感知引入正态曲线、正态分布的意义；借助图象认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义；
（二）通过经历正态分布概念的形成过程，体验从具体到抽象研究问题的方法，尝试用数据和图形理性分析问题、用规律推断解决问题的过程；
（三）通过数学史介绍正态分布密度函数，感受数学文化；通过数据的分析，能对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断.
教学重点：正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义.
教学难点：正态分布密度曲线所表示的意义
【教学策略分析】
基于学生已经在通用技术课上自己制作了高尔顿板，以及学生思维从具体形象到抽象逻辑的特点，本节课在教学材料的组织上选择了学生进行高尔顿板试验、画频率分布直方图和频率分布折线图的活动.高尔顿板试验需要小组合作来完成，正态曲线特点及其所表示的意义需要在教师的指导下小组讨论交流，因此为了更好的让学生认识正态曲线的特点及其所表示的意义，本节课采用传统教学和信息技术相结合的手段，应用问题探究式教学方法，给不同认知基础的学生提供了自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，使学生主动地学习，发挥学生的主动性.
【教学过程】
教学流程图：
一、情境引入——高尔顿板试验
学生没有接触过正态曲线，对正态曲线的来源也没有认识，因此，教师向学生出示高尔顿板模型引入本节课，并提出问题.为了增加趣味性，特意准备了一个数学家庞加莱买面包的小故事并播放小视频《统计的乐趣》，视频中对高尔顿顶板的实验装置做了说明。
问题1：同学们是否见过此模型？在哪见过？
预设学生活动：学生不仅见过还在通用技术课上自己制作过高尔顿板，并知道高尔顿板试验是让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层障碍物碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.
活动1：高尔顿板试验
为了观察到小球的运动，得到小球的分布规律，我把全班分成6个小组，以小组为单位进行高尔顿板试验，并制作了预习任务单.
问题2：试验过程中，小球碰撞和落入的位置，随着试验次数增加，球槽中小球堆积的高度及形状特点.
学生以小组为单位边试验边观察，并思考教师提出的问题，教师以小组选派代表的方式总结小组的试验观察结果.
预设学生活动：学生能够观察到小球从高尔顿板上方下落的过程中，小球经过每一层都要和其中的一个障碍物发生碰撞，碰撞有两种可能，从左落下或从右落下，最后落入底部的球槽，小球落入哪个球槽是随机的；随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，球槽中小球堆积的高度也会越来越高；随着试验次数增加，小球堆积的形状具有中间高两边低的特点，如果有学生观察出左右对称的特点，教师应给与鼓励和表扬.
【设计意图】采用高尔顿板试验的方法引入，一方面可以激发学生学习探究的兴趣，另一方面使学生对正态曲线的来源有一个直观的印象.
二、建立概念——钟形曲线——正态曲线——正态分布
（一）钟形曲线
感性认识要上升到理性认识，为方便研究问题，我们从左到右给球槽编号，小球落入哪个球槽是不是有一定规律可遵循.
问题3：如何用我们所学的知识研究落在各个球槽内的小球的分布情况？
生1：用表示球槽编号，则是一个随机变量，每投放一个小球就可以看做1个试
验，重复投放个小球，相当于做了次独立重复试验，某一槽中球的个数就是小球落在这个槽中的频数，可以在大量重复的试验下，用频率估计概率，列出球槽编号
的分布列；
生2：以球槽的编号为横坐标，可以画出小球分布的频率分布直方图.
学生讨论比较2种预案，哪种预案好？
预设学生活动：对于离散型随机变量而言，其分布列完全刻画了它的概率分布规律，但只能通过频率来近似，现在无法知道所构造的随机变量的分布列.而频率分布直方图更加准确直观形象，所以经过学生讨论用频率分布直方图进一步探究小球的分布规律.
【设计意图】借助频率分布直方图更加准确直观形象的研究小球的分布规律，为正态曲线的得出做铺垫.
活动2：画频率分布直方图
由于课堂时间所限，让学生在课前进行试验，并记录落入各个球槽内小球的频数，利用画频率分布画直方图，课上请1个小组的同学展示在课前画的频率分布直方图.教师出示课前收集到的其他小组画出的频率分布直方图，并思考下面问题.
问题4：观察频率分布直方图有何共同特点？
预设学生活动：学生可发现频率分布直方图具有中间高两边低（左右两边对称）的特点，并且频率分布直方图的外形与试验中小球的堆积形状是一样的.
【设计意图】引导学生归纳频率分布直方图的共同特点，有利于学生观察发现、归纳概括能力的初步锻炼，进一步加深正态曲线的印象.
活动3：画频率分布折线图
问题5：是不是只有小球的分布具有中间高两边低的特点？
预设学生活动：教师引导学生调用在必修3统计的学习中，收集过的身高、体重、成绩等数据，借助图形计算器，可以画出这些数据的频率分布直方图，发现这些数据都具有中间高两边低的特点.
高中数学_正态分布教学设计学情分析教材分析课后反思
