四、分类讨论的思想方法
[概述]：
分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想，又是一个重要的数学方法，很多数学问题涉及知识范围广，约束条件多，很难用统一方法解决，因此就从“分割”入手，将整体化为若干局部，每个局部问题相对确定，解法单一，比较容易解决，每个局部问题解决了，整体问题也就得到解决。即采用化整为零各个击破的方针。1。分类讨论的关键：1）找出分类的根源，明确为什么分类？2）找出分类的对策，明确怎样分类。一般地：1）使用数学性质，定理，公式视其限制条件，成立条件进行分类；如等比数列前n项和公式，要依据公比q?1和q?1得到两个不同的表达式；绝对值的性质；2）由概念引起的讨论，如直线与平面所成的角；3）由变形所需
条件的限制引起的讨论；如方程ax?b?0的解的情况；4）由图形的不确定性引起的讨论，如?ABC到平面?的距离分别为
a,b,c，求?ABC重心到平面?的距离；5）对于含有参数的问题对参数的允许值进行全面的讨论，如直线方程的点斜式和截距式；
。2。分类讨论的解题步骤：1）确定讨论的对象以及全
6）其它：根据实际问题具体分析进行讨论，如排列、组合问题，应用问题
域；2）合理分类统一标准，作到不重，不漏；3）逐类讨论，分级进行；4）归纳总结得出整个题目结论。3。分类讨论的类型：1）问题中的变量或参数不确定性，需要分类讨论；2）问题的条件是分类给出的；3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；4）几何问题中，几何元素的形状、图象位置的变化需要分类讨论的。
简化和避免分类讨论的方法：1）直接回避，如运用反证法、补集法、消参法。2）变更主元。3）合理简化运算。4）数形结合。 [例题分析] 例1：设集合M的映射
?{?1,0,1},N?{2,3,4,5,6}，映射f:M?N，使对任何x?M，都有x?f(x)?xf(x)是奇数，这样
f有多少个？
变式：设函数
f:{1,2,3}?{1,2,3}，满足f(f(x))?f(x)，则这样的映射个数有：
A：1个；B：4个；C：8个；D:10个。 例2：设A?{xax?1?0},B?{xx2?3x?2?0}，若A?B，则a的值构成的集合是 。
y?ax在[0,1]上最大值与最小值之差为3，则a的值是多少？
例3：（对问题中变量或参数进行分类讨论）函数
变式：解关于x的不等式：
x?a?0(a?R) 2x?a变式：已知函数
f(x)?lg(x2?2x?m),其中m?R为常数，求这个函数的定义域。
?32n?n2求数列{|an|}的前n项的和Pn。
例4．（问题的条件是分类给出的，需要分类讨论）已知数列的前n项的和Sn例5．给出定点A(a,0)(a?0)，和直线l:x??1,B是直线l上一动点，?BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程
并讨论方程表示的曲线类型与a的关系。 例6．设函数
f(x)?ex?e?x。
?)证明：f(x)的导数f'(x)?2。
??)若对所有x?0都有f(x)?ax，求a的取值范围。 ?)（略）
??)令g(x)?f(x)?ax，则g'(x)?f'(x)?a?ex?e?x?a。
1）若a?2，当x?0时，g'(x)?f'(x)?a?ex?e?x?a?2?a?0，
g(0)?0，即
g(x)在(0,??)上为增函数，x?0时，g(x)?
f(x)?ax。
，此时若x?(0,x1)，则g'(x)?0，故g(x)在该区间为减
a?a2?4 2）若a?2，方程g'(x)?0的正根为x1?ln2函数，因此g(x)? 不符合要求。
综上：满足条件的a的取值范围是(??,2]。 例7：（07山东）设
1， 当bg(0)?0，即f(x)?ax
f(x)?x2?bln(x?1)，其中b?0。
?1时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 2f(x)的极值点；
2， 求函数
3， 证明对任意的正整数n，不等式ln(1?[分析]：
111)?2?3nnn都成立。
f(x)的定义域为(?1,??)
21212(x?)?b?b2x?2x?b22，当b?1时，f'(x)?0，结论成立。 f'(x)?2x???x?1x?12x?11讨论:当b?时，无极值点；
212(x?)212=0有两个相等的解x??1，在?1左右两侧f'(x)符号相等，无极值。 当b?时，f'(x)?222x?11 当b?时，f'(x)=0有两个不同解
2
x1??1?1?2b?1?1?2b;x2?22
b?0时，x1??1,x2??1，即x1?(?1,??),x2?(?1,??)，且
f(x),f'(x)随x的变化情况如下表：
x f'(x) (?1,x2) x2 0 极小值 (x2,??) ? ? f(x) 当0?b?1时，x1??1,?x1,x2?(?1,??)，f(x),f'(x)随x的变化情况如下表： 2(?1,x1) + x x1 0 极大值 (x1,x2) x2 — 0 极小值 (x2,??) + f'(x) f(x) 纵上所述：
b??1
时，
f(x)?x2?ln(x?1)，令h(x)?x3?f(x)，则
例8：已知函数
2ax?a2?1f(x)?(x?R)，其中a?R．
x2?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线（Ⅱ）当ay?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
?0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
f(x)?2x4，， f(2)?x2?15（Ⅰ）解：当a?1时，
又
2(x2?1)?2x·2x2?2x26?f?(x)??，． f(2)??2222(x?1)(x?1)25所以，曲线
y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y?46??(x?2)， 525即6x?2y?32?0．
（Ⅱ）解：由于a2a(x2?1)?2x(2ax?a2?1)?2(x?a)(ax?1)f?(x)??．
(x2?1)2(x2?1)2?0，以下分两种情况讨论．
?0时，令f?(x)?0，得到x1??x （1）当a1a，x2?a．当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
1???∞，??? a??1 a0 极小值 ?1???，a? ?a?? a (a，?∞) f?(x) f(x) 所以
? ? 0 极大值 ? 1???1???，(a，f(x)在区间??∞，?∞)内为减函数，在区间??，a?内为增函数． a???a?函数
f(x)在x1??1a处取得极小值
?1?f???，且?a??1?f?????a2， ?a?函数
f(x)在x2?1a处取得极大值
f(a)，且f(a)?1．
（2）当a?0时，令
f?(x)?0，得到x1?a，x2??x 1，当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表： aa ??∞，a? ? 1??a，??? a???1 a?1??，+∞?? a??? f?(x) 0 极大值 ? 0 极小值 f(x) 所以
1??1????内为减函数． f(x)在区间(?∞，a)，??，+∞?内为增函数，在区间?a，a??a??函数
f(x)在x1?a处取得极大值f(a)，且f(a)?1． f(x)在x2??函数
1处取得极小值a?1?f???，且?a??1?f?????a2． ?a? 例9：设函数
f(x)??x(x?a)2（x∈R），其中a∈R，
（1）当a=1时，求曲线y= f(x) 在点（2，f (2)）处的切线方程； （2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值；。 （3）当a>3时，证明存在k?[?1,0]，使得不等式（Ⅰ）解：当a?1时，
f(k?cosx)?f(k2?cos2x)对任意的x∈R恒成立。
f(x)??x(x?1)2??x3?2x2?x，得f(2)??2，且
f?(x)??3x2?4x?1，f?(2)??5．
所以，曲线
y??x(x?1)2在点(2，?2)处的切线方程是y?2??5(x?2)，整理得
5x?y?8?0．
（Ⅱ）解：
f(x)??x(x?a)2??x3?2ax2?a2x
f?(x)??3x2?4ax?a2??(3x?a)(x?a)．
令
f?(x)?0，解得x?a或x?a． 3由于a?0，以下分两种情况讨论．
?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：
x （1）若aa???∞，?? 3??a 3?a?，a?? 3??a (a，∞?) f?(x) ? ?a?f??，且 ?3?0 ? 0 ? 因此，函数
f(x)在x?a处取得极小值34?a?f????a3；
27?3?函数
f(x)在x?a处取得极大值f(a)，且
f(a)?0．
（2）若a?0，当x变化时，
f?(x)的正负如下表：
x ??∞，a? ? a ?a??a，? ?3?? a 3?a?，?∞?? 3??f?(x) 因此，函数
0 0 ? f(x)在x?a处取得极小值f(a)，且
f(a)?0；
函数
f(x)在x?a处取得极大值3?a?f??，且 ?3?4?a?f????a3．
27?3?（Ⅲ）证明：由a?3，得
a?1，当k???10，?时， 3k?cosx≤1，k2?cos2x≤1．
由（Ⅱ）知，只要k即
f(x)在??∞，1?上是减函数，要使f(k?cosx)≥f(k2?cos2x)，x?R
?cosx≤k2?cos2x(x?R)
cos2x?cosx≤k2?k(x?R)
2 ①
21?1?设g(x)?cosx?cosx??cosx???，则函数g(x)在R上的最大值为2．
2?4?要使①式恒成立，必须k2?k≥2，即k≥2或k≤?1．
分类讨论的思想方法
