已知函数f(x)?x?1．
（1）求不等式f(2x)?f(x?1)?2的解集．
（2）若a?0，b?0且a?b?f(3)，求证：a?1?b?1?22．
2019届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的
程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．B 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
33 13．? 14． 15．939 16．[e,??)
25三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．
解：（Ⅰ）由已知得Sn?n2?2kn?(n?k)2?k2,
因为k?N*，当n?k时，(Sn)min??k2??9，…………………………1分 故k?3；………………………… 2分 所以Sn?n2?6n.…………………………3分 因为Sn?1?(n?1)2?6(n?1)，(n?2)
所以an?Sn?Sn?1?(n2?6n)?[(n?1)2?6(n?1)]， 得an?2n?7(n?2).…………………………5分
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当n?1时，S1??4?a1,
综上，an?2n?7.…………………………6分
（Ⅱ）依题意，bn???1??an???1?(2n?7),…………………………7分 所
T2n?5?????????nn以
?2nn?????n?n??……………………+3……8分
?5?(2?2?n?2)…………………………10分
?5?2n．…………………………12分
18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基
础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
解法一：（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，且AB//D,
AB?AD?2,?ADC??2,
所以BD?22，……1分， 又因为CD?4,?BDC??4,
根据余弦定理得BC?22, …………………………2分，
所以CD2?BD2?BC2，故BC?BD. …………………………3分 又因为BC?PD, PDBD?D,且BD,PD?平面PBD，所以BC?平面PBD， ………………4分
又因为BC?平面PBC，所以平面PBC?平面PBD………………5分 （2）由（1）得平面ABCD?平面PBD,
z设E为BD的中点，连结PE，因为PB?PD?6,
P所以PE?BD,PE?2,又平面ABCD?平面PBD， 平面ABCD平面PBD?BD，
PE?平面ABCD.…………………………7分 如图，以A为原点分别以AD，AB和垂直平面ABCD的方向为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系A?xyz，
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MADBECyx则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，P(1,1,2)， …………8分 假设存在M(a,b,c)满足要求，设所以M(2-?,4-3?,2?),
易得平面PBD的一个法向量为BC?(2,2,0).…………………………9分
设n?(x,y,z)为平面ABM的一个法向量，AB?(0,2,0)， AM=(2-?,4-3?,2?)
CM??(0???1)，即CM??CP， CP由
??n?AB?0???n?AM?0得
?2y?0??(2??)x?(4?3?)y?2?z?0，不妨取
n?(2?,0,??2). …………………………10分
|4?|1??因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为，所以，
224?2?(??2)223解得??
2
，???2（不合题意舍去）. 3
CM2?. …………………………12分 CP3 故存在M点满足条件，且
解法二：（1）证明：取线段CD的中点F，连结AF交BD于E点，连结BF， 1?因为AB//CD, AB?AD?CD?2,?ADC?,
22zPM所以四边形ADFB为正方形，故BD?AF,…………………………1分，
且E为BD中点,又F为线段CD的中点，
所以EF//BC且BC?BD…………………………3分， 又因为BC?PD, PDBD?D,且BD,PD?平面PBD 所以BC?平面PBD， …………………………4分 又因为BC?平面PBC，
所以平面PBC?平面PBD …………………………5分
ADEFBCxy（2）连结EP，因为PB?PD?6，E为中点,所以PE?BD,PE?2, 又因为BC?平面PBD，所以PE,DE,EF三线两两互相垂直，…………………………7分
分别以ED,EF,EP为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系E?xyz 则
E(0,0,0),A(0,?2,0),B(?2,0,0),C(?2,22,0),D(2,0,0),P(0,0,2) ………………
…………8分
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假设存在M满足要求，设
CM??(0???1),即CM??CP, CP易得平面PBD的一个法向量为BC?(0,22,0). …………………………9分 设n?(x,y,z)为平面ABM的一个法向量，AB?(?2,2,0)， AM?AC?CM?AC??CP?(?2?2?,32?22?,2?).
???n?AB?0??2x?2y?0由?得?
n?AM?0(?2?2?)x?(32?22?)y?2?z?0????不妨取n?(2?,2?,??2). …………………………10分 因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为
|4?|224?2?(??2)2??，所以 312??，???2（不合题意舍去）. ，解得23故存在M点满足条件，且
CM2?. …………………………12分 CP319. 本小题主要考查频率分布直方图、平均数、独立性检验及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．
解：（1）x?(10?0.005?30?0.0075?50?0.010?70?0.0125?90?0.010?110?0.005)?20
?62．
估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．…………………………3分 （2）列联表如下：
男 女 合计 水果达人 10 20 30 非水果达人 40 30 70 合计 50 50 100 …………………………5分
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100(10?30?20?40)2又???4.761?3.841,
50?50?30?702因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系．………………7分 （3）若选方案一：则需付款10?12?10?110元；…………………………8分
若选方案二：设付款X元，则X可能取值为84，96，108，120．…………………………9分
?1?1?1?13P(X?84)?C???， P(X?96)?C32????，
?2?8?2?2833321?1?3?1?1P(X?108)?C?????， P(X?120)?C30???，
2?2?8?2?813231331所以E(X)?84??96??108??120??102．…………………………11分
8888因为102?110，
所以选择方案二更划算．…………………………12分
20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、
推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．
?14?7321,解法一：（1）当点A的坐标为?时，， OA?1????2?22??所以AB?32．.………………………………1分
由对称性，AF?BF?2a，………………………………2分
所以2a?72?32?42，得a?22．.………………………………3分 ?14?x2y2将点??1,2??代入椭圆方程8?b2?1中，
??解得b2?4，
x2y2所以椭圆方程为??1．.………………………………5分
84（2）当直线AB的斜率不存在时，CD?22，
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2019年 福建省宁德市普通高中毕业班第二次质量检查理科数学试卷及参考答案（定稿）
