解: 有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情
况： 三种收敛域对应三种不同的原序列
(1)当收敛域z 0.5时,
1
5 7z zn 1 n1
令 F(z) X(z)z
(1 0.5z 1)(1 2z 1)
5z 7 n z (z 0.5)(z 2)
n 0,因为c内无极点，x( n)=0 ;
n 1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留
数，圆外极点有乙0.5,Z2 2，那么
(2)当收敛域0.5 z 2时， n 0，C内有极点0.5;
n 0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留
数，c外极点只有一个，即2，
1
最后得到 x(n) 3c(-)n u(n) 2g2nu( n 1)
(3)当收敛域2 z时， n 0，C内有极点0.5, 2； *0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此
x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成 求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到 17.已知 x(n) anu(n),0 a 1，分别求: (1)x(n)的Z变换；
(2) nx(n)的 Z 变换; (3) a nu( n)的 z 变换 解： (1)
X(z)
ZT[anu( n)]
n
a u(n)z
az
n n
宀，z
1 az
(2) ZT[ nx(n)]
z—X(z) dz
a z
n 0
1
1
一 1、
2
(1 az )
n
n 0
, z
(3) ZT[a u( n)]
n
n
a z 1 az-
n n
18.已知x(z) 半 2，分别求：
(1) 收敛域0.5 z 2对应的原序列x(n); (2) 收敛域z 2对应的原序列x(n)。 解：
(1)当收敛域0.5 z 2时，n 0 , c内有极点0.5,
x(n) Res[F(z),0.5]
0.5n 2 n, n 0,
2 5z1 2z 2
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点，改求c外极点留数,c外极点只 有2,
x(n) Res[F(z),2]
2n,
最后得到
(2 (当收敛域z 2时，
n 0,cn 0, c
内有极点0.5,2,
内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留 数可是c外没有极点，因此x(n) 0,最后得到
25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x( n) anu( n),h( n) bnu( n),0 a 1,0 b 1 , 试：
(1) 用卷积法求网络输出y(n)； (2) 用ZT法求网络输出y(n)。 解：
(1)用卷积法求y(n)
y(n) h(n) x(n)
bmu(m)an mu(n m)， n 0,
m
n
n
n m. m
bn1
y(n) a b
a a b
n m. m
m 0
1 a 1
b
最后得到 (2)用ZT法求y(n) n 1
令 F(z) Y(z)zn 1
z
1 az 1
1 bz
(z a)(z b)
n 0,C内有极点a,b
因为系统是因果系统，n 0, y(n) 0，最后得到
28.若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: 求序列h(n)及其傅里叶变换H (ejw)。 解：
求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。 因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：a
n 1时，C内有极点a,
n=0时，c内有极点a,0,
y(n) 0
所以
又因为 所以
3.2 教材第三章习题解答
1.计算以下诸序列的N点DFT，在变换区间0 n
(2) x(n) (n)；
(4) x(n) Rm(n),0
m N ；
(6) x(n) cos(- nm),0 mN
N
；
(8) x(n) sin(W0n)? RN (n)； (10) x(n) nRN (n)。 解: (2) x(k)
(n) 1,k 0,1, , N 1
(4) WX(k)
N 1 n0^
n
1 WNk
jNk(m1)
S^mk)
,k
si n( m) N
N 1
2
N*
(6) X(k) n。
0
cos
2N mn ?
Wkn
2'
(8) 解法
直接计算
解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为
所以
1内，序列定义为0,1, ,N 1
.2 kn
1 2j
1 e
jW0N
2
(
1 ejw0N 1 e
N
j(w° ：(N k))
1 e
j(wk
0 ”) N
i 2 j
I ejw0N
1 e
N
j(w° 二 k)
2 ) (
j(w0
1 e N
1 e jw°N
k)
结果与解法1所得结果相同。 此题验证了共轭对称
性。 (10)解法1
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解 因为 所以
x( n) x((n
x( n) n RN( n)1))N ?RN(n)
N (n) RN(n)
X(k)。
等式两边进行DFT得到
X(k)
N[k 1,2 ,N 1 1 WN
当k 0时，可直接计算得出X
(0)
这样，X( k)可写成如下形式:
解法2
k 0时, k 0时,
所以,
2.已知下列 X(k)，求 x(n) IDFT[X(k)];
N j .
e , k m 2 N -
(1) X(k) e j ,k N m；
0,其它k
《数字信号处理》第三版课后习题答案0001
