解: 画出x(n)和％n)的波形如题4解图所示。
3
j
2
kn
X%k) DFS[% n)]
X()n)e 4
n 0
1
j kn e 2
4
0
) 2cos( k)?e
4
X(k)以4为周期，或者X(k)以
4为周期
5.设如图所示的序列
jl k jl k j2
e 2 (e2
e 4j! k j! k (e4
x(n)的
FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw)，
完成下列运算: (1) X(ej0)；
(2)
X(ejw)dw ；
(5) X(ejw)?dw 解：
7
(5) X (ejw )2
dw 7
2
|x(n)2
n 3
28
(1)X(ej0)
x(n) 6
n 3
6?试求如下序列的傅里叶变换： 1 1 (2)X2(n)
(n 1)
(n)于⑴ 1)；
2
X(ejw)dw x(0) ?2 4
j4k
e
2
k : 1
丿
j
-4 k e 4 )
；sin k .1 . j k
2 sin k .1 . 4
(3) x3(n) anu( n),0 a 1 解: (2) (3)
X3(ejw
)
a u(n)e
n jwn
a e
n jwn
jw
n
n 0
ae
7.设：
(1) x(n)是实偶函数，
(2) x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶换性质。 解： 令 X(ejw)
x(n)ejwn
n
(1) x(n)是实、偶函数，X(ejw)
x(n)ejwn
n
两边取共轭，得到 因此 X(ejw) X*(e jw)
上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。 由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么 因此 X (ejw)
x( n) coswn
n
该式说明X(ejw)是实函数，且是w的偶函数。
总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换 X(ejw)是实、偶函 数。
(2) x(n)是实、奇函数。
变 上面已推出，由于 x(n) 是实序列， X (e jw )具有共轭对称性质，即 由于X(n)是奇函数，上式中x(n)cos wn是奇函数，那么
x(n)coswn 0
n
因此 X(ejw) j x(n)sin wn
n
这说明 X(e ) 是纯虚数，且是 w 的奇函数。
10.若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
H R(ejw ) 1 cosw
求序列h(n)及其傅里叶变换H (ejw)。 解：
12. 设系统的单位取样响应 h(n) anu(n),0 a 1，输入序列为
x(n) (n) 2 (n 2)，完成下面各题：
( 1 )求出系统输出序列 y(n) ；
(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： (1) ( 2)
13. 已知 Xa(t) 2cos(2 fot)，式中 fo 100Hz，以采样频率 fs 400Hz 对
Xa(t)进行采样，得到采样信号％(t)和时域离散信号X(n)，试完成下面题：
(1) 写出Xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j )； (2) 写出％(t)和X(n)的表达式；
各
(3) 分别求出%(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。
解:
(1) 上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数 里叶变换可以 表示成： (2) ?a(t)
Xa(t) (t nT) 2cos( °nT)
n
n
(3)
式中 s 2 fs 800 rad / s 式中 wo
o
T 0.5 rad
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。 14.求以下序列的Z变换及收敛域： (2) 2 nu( n 1)； (3) 2 nu( n)； (6)2 n[u(n) u(n 10)] 解： (2) ZT[2 nu(n)]
2 nu(n)z n
2 nz n 罕
n
n 0
1 2 Z
(3) (6) 16.已知:
求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。
函数，它的傅
nT)
只有引入奇异
《数字信号处理》第三版课后习题答案0001
