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第一章信号及其描述
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。
x(t) A … 0 -A 图1-4 周期方波信号波形图
… t
解答：在一个周期的表达式为
T0??A (??t?0)??2. x(t)??? A (0?t?T0)??2 积分区间取（-T/2，T/2）
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x(t)?n????cen?jn?0t??jA?n????n(1?cosn?)e?1jn?0t，n=0, ?1, ?2, ?3, 。
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
|cn| 2A/π 2A/3π -3ω0 -ω0 ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 3ω0 5ω0 ω π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
3ω0 5ω0 ω φn 2A/5π -5ω0 幅频图
1-3 求指数函数x(t)?Ae?at(a?0,t?0)的频谱。 解答：
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φ(f) A/a π/0 0 f -π/2 f |X(f)单边指数衰减信号频谱图
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
sgn(t) 1 0 -1 a)符号函数
图1-25 题1-4图
b)阶跃函数
t u(t) 1 0 t
a)符号函数的频谱
t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。
可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。
x1(t) 1
|X(f)| 0
t
0 f 0 -π/2 φ(f) π/2 f -1
x1(t)?e?atsgn(t)符号函数
符号函数频谱
b)阶跃函数频谱
在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。 解法1：利用符号函数 结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。
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φ(f) π/2 0 -π/2 f
单位阶跃信号频谱
f |U(f)|
(1/2) 0
解法2：利用冲激函数
根据傅里叶变换的积分特性
1-5 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。
??cosω0tx(t)????0t?Tt?Tx(t) 1
0 -1 w(t) 1 解：x(t)?w(t)cos(2?f0t)
-T T t w(t)为矩形脉冲信号
11所以x(t)?w(t)ej2?f0t?w(t)e?j2?f0t
22根据频移特性和叠加性得：
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
X(f) T -T 0 图1-26 被截断的余弦函数
T t -f0 被截断的余弦函数频谱
f0 f
1-6 求指数衰减信号x(t)?e?atsinω0t的频谱
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x(t) 指数衰减信号
解答：
1j?0t?j?0te?e 2j所以x(t)?e?at
??单边指数衰减信号x1(t)?e?at(a?0,t?0)的频谱密度函数为
根据频移特性和叠加性得：
X(ω) φ(ω) π 0 -π ω 0 ω 指数衰减信号的频谱图
1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡
cosω0t(ω0?ωm)。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡cosω0t叫
做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0?ωm时将会出现什么情况？
f(t) F(ω) 0 t -ωm 0 ωm ω 图1-27 题1-7图
解：x(t)?f(t)cos(?0t)
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11f(t)ej?0t?f(t)e?j?0t 22根据频移特性和叠加性得：
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。 所以x(t)?X(f) -ω0 矩形调幅信号频谱
ω0 f
若ω0?ωm将发生混叠。
2-2 用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？
解：设一阶系统H(s)?11?(??)211，H(?)?
1?j???s?1 A(?)?H(?)??1，T是输入的正弦信号的周期 2??21?()T稳态响应相对幅值误差??A????1?100%，将已知周期代入得
2-3 求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t?45?)通过传递函数为H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。
解：H(?)?11，A(?)?，?(?)??arctan(0.005?)
21?j0.005?1?(0.005?) 该装置是一线性定常系统，设稳态响应为y(t)，根据线性定常系统的频率保
持性、比例性和叠加性得到
y(t)=y01cos(10t+?1)+y02cos(100t?45?+?2) 其
中
y01?A(10)x01?11?(0.005?10)2?0.5?0.499，
?1??(10)??arctan(0.005?10)??2.86?
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机械工程测试技术基础第三版课后习题答案汇总
