【解析】 【分析】
（1）根据三角函数的概念可知tanA＝
CDCDcos∠BCD＝，，根据tanA＝2cos∠BCD即可得结论；（2）ADBC由∠B的余弦值和（1）的结论即可求得BD，利用勾股定理求得CD即可． 【详解】
CDCD，cos∠BCD＝，tanA＝2cos∠BCD， ADBCCDCD∴＝2·， ADBC(1)∵tanA＝∴BC＝2AD. (2)∵cosB＝
BD3＝，BC＝2AD， BC4∴
BD3＝. AD22×10＝4，BD＝10－4＝6， 5∵AB＝10，∴AD＝
∴BC＝8，∴CD＝BC2?BD2＝27. 【点睛】
本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算.熟练掌握三角函数的概念是解题关键. 22．（1）y??【解析】 【分析】
（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，C点坐标，根据代定系数法，可得函数解析式； （2）①根据相似三角形的判定与性质，可得
123PE29300x?x?2；（2）①有最大值1；②（2，3）或（，）
11EO12122PEPM? ，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的OEOC30），，2纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点D，求得D（
得到DA=DC=DB=
5，过P作x轴的平行线交y轴于R，交AC于G，情况一：如图，2∠PCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FPC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
（1）当x=0时，y=2，即C（0，2）， 当y=0时，x=4，即A（4，0）， 将A，C点坐标代入函数解析式，得
?12???4?4b?c＝0， ?2??c＝2?3?b＝解得?2，
??c＝2抛物线的解析是为y??123x?x?2； 22 （2）过点P向x轴做垂线，交直线AC于点M，交x轴于点N
，
∵直线PN∥y轴， ∴△PEM～△OEC， ∴
PEPM? OEOC把x=0代入y=-
1x+2，得y=2，即OC=2， 2设点P（x，-
1231x+x+2），则点M（x，-x+2），
222∴PM=（-
123111x+x+2）-（-x+2）=-x2+2x=-（x-2）2+2，
2222212PEPM??x?2??2? ∴=2，
OEOC212PEPM??x?2??2? ∵0＜x＜4，∴当x=2时，=2有最大值1． OEOC 2②∵A（4，0），B（-1，0），C（0，2）， ∴AC=25，BC=5，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点D， ∴D（
3，0）， 2∴DA=DC=DB=
5， 2∴∠CDO=2∠BAC，
∴tan∠CDO=tan（2∠BAC）=
4， 3过P作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G， 情况一：如图
，
∴∠PCF=2∠BAC=∠PGC+∠CPG， ∴∠CPG=∠BAC， ∴tan∠CPG=tan∠BAC=
1， 2即
RC1?， RP2令P（a，-
123a+a+2），
22123a+a，
22∴PR=a，RC=-
13?a2?a∴22?1，
a2∴a1=0（舍去），a2=2， ∴xP=2，-
123a+a+2=3，P（2，3）
22情况二，∴∠FPC=2∠BAC， ∴tan∠FPC=设FC=4k， ∴PF=3k，PC=5k， ∵tan∠PGC= ∴FG=6k，
4， 33k1?， FG2∴CG=2k，PG=35k，
∴RC=454511525k，RG=k，PR=35k-k=k， 5555115kPRa5??∴，
13RC252k?a?a225∴a1=0（舍去），a2=
29， 11xP=
133002929300，-a2+a+2=，即P（，）， 11112121121230029，）． 11121综上所述：P点坐标是（2，3）或（【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出遗漏．
23．（1）A型自行车的单价为210元,B型自行车的单价为240元.(2) 最省钱的方案是购买A型自行车200辆,B型自行车的400辆,总费用为138000元. 【解析】
分析：（1）设A型自行车的单价为x元，B型自行车的单价为y元，构建方程组即可解决问题． （2）设购买A型自行车a辆，B型自行车的（600-a）辆．总费用为w元．构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题．
详解：(1)设A型自行车的单价为x元,B型自行车的单价为y元,
PEPM? ，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用解直角三角形，要分类讨论，以防OEOC由题意,
解得,
型自行车的单价为210元,B型自行车的单价为240元. (2)设购买A型自行车a辆,B型自行车的由题意
,
辆.总费用为w元.
,
随a的增大而减小,
, ,
∴当
时,w有最小值,最小值
,
∴最省钱的方案是购买A型自行车200辆,B型自行车的400辆,总费用为138000元.
点睛：本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程组或一次函数解决实际问题，属于中考常考题型． 24．(3) QM=（1）证明见解析（2）30°【解析】 试题分析：
（1）连接OP，PB，由已知易证∠OBP=∠OPB=∠QBP，从而可得BP平分∠OBQ，结合BQ⊥CP于点Q，PE⊥AB于点E即可由角平分线的性质得到PQ=PE；
（2）如下图2，连接OP，则由已知易得∠CPO=∠PEC=90°，由此可得∠C=∠OPE，设EF=x，则由∠GAB=30°，∠AEF=90°可得AE=3x，在Rt△BEF中，由tan∠BFE=3919 53可得BE=33x，从而可
OE1?，OP2得AB=43x，则OP=OA=23x，结合AE=3x可得OE=3x，这样即可得到sin∠OPE=由此可得∠OPE=30°，则∠C=30°；
（3）如下图3，连接BG，过点O作OK⊥HB于点K，结合BQ⊥CP，∠OPQ=90°，可得四边形POKQ为矩形．由此可得QK=PO，OK∥CQ从而可得∠KOB=∠C=30°；由已知易证PE=33，在Rt△EPO
中结合（2）可解得PO=6，由此可得OB=QK=6；在Rt△KOB中可解得KB=3，由此可得QB=9；在△ABG∠ABG=60°中由已知条件可得BG=6，；过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，由∠ABG=∠CBQ=60°，可得∠GBN=60°，从而可得解得GN=3BN=3，由此可得QN=12，则在Rt△BGN中可解得QG=319，3，由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分线，由此可得QM：GM=QB：GB=9：6由此即可求得QM的长了. 试题解析：
（1）如下图1，连接OP，PB，∵CP切⊙O于P， ∴OP⊥CP于点P， 又∵BQ⊥CP于点Q， ∴OP∥BQ， ∴∠OPB=∠QBP，
【附5套中考模拟试卷】湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学四模考试卷含解析
