b2＋c2－a21π
解析 由余弦定理知cos A＝＝，因为0 2bc23 得sin B＝3cos? 32ππ?2π－B?＝－3cos ?π?B＋sin B，即sin?B－?＝0，又0 所以△ABC是等边三角形，故选D. 答案 D 14.(一题多解)(2019·北京卷)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( ) A.4β＋4cos β C.2β＋2cos β B.4β＋4sin β D.2β＋2sin β 解析 法一 如图①，设圆心为O，连接OA，OB，OP. ① ∵∠APB＝β，∠AOB＝2β， ∴S阴影＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形AOB 1112 ＝×2×2sin ∠AOP＋×2×2sin ∠BOP＋×2β×2 222＝2sin ∠AOP＋2sin ∠BOP＋4β ＝2sin ∠AOP＋2sin(2π－2β－∠AOP)＋4β ＝2sin ∠AOP－2sin(2β＋∠AOP)＋4β ＝2sin ∠AOP－2(sin 2β·cos ∠AOP＋cos 2β·sin ∠AOP)＋4β ＝2sin ∠AOP－2sin 2β·cos ∠AOP－2cos 2β·sin ∠AOP＋4β ＝2(1－cos 2β)sin ∠AOP－2sin 2β·cos ∠AOP＋4β ＝2×2sinβ·sin ∠AOP－2×2sin β·cos β·cos ∠AOP＋4β ＝4sin β(sin β·sin ∠AOP－cos β·cos ∠AOP)＋4β ＝4β－4sin β·cos(β＋∠AOP). 2 ∵β为锐角，∴sin β>0. ∴当cos(β＋∠AOP)＝－1，即β＋∠AOP＝π时，阴影区域面积最大，为4β＋4sin β. 故选B. 法二 如图②，设圆心为O，连接OA，OB，OP，AB，则阴影区域被分成弓形AmB和△ABP. ② ∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β. ∵弓形AmB的面积是定值， ∴要使阴影区域面积最大，则只需△ABP面积最大. ∵△ABP底边AB长固定， ∴只要△ABP的底边AB上的高最大即可. 由图可知，当AP＝BP时，满足条件， 此时S阴影＝S扇形AOB＋S△AOP＋S△BOP 112π－2β22 ＝×2β·2＋2××2·sin 222＝4β＋4sin β. 这就是阴影区域面积的最大值.故选B. 答案 B 15.若不等式ksinB＋sin Asin C>19sin Bsin C对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为________. 19bc－ac2 解析 由正弦定理得kb＋ac>19bc，即k>， 2 2 b∴k>? ac?19bc－ac（19b－a）c（19b－a）（a＋b）?19bc－ ，因为c 2 ?a－9?＋100≤100， ?b??? 因此k≥100，即k的最小值为100. 答案 100 16.(2019·浙江新高考仿真卷二)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2 tan C22 ＋2b＝c，则＝________；tan B的最大值为________. tan Ac2＋b2－a2 ·c2bctan Ccos Asin Cc2＋b2－a2 解析 在△ABC中，由正弦定理和余弦定理得＝＝222＝222，tan Acos Csin Aa＋b－ca＋b－c·a2abtan Ca＋2b＋b－a又因为a＋2b＝c，所以＝22＝－3.tan B＝－tan(A＋C)＝－22tan Aa＋b－（a＋2b） 2 2 2 2 2 2 2 tan A＋tan Ctan A－3tan A2tan A222 ＝－＝由a＋2b＝c得角A为锐角，则2， 1－tan A·tan C1－tan A·（－3tan A）1＋3tanAtan A>0，则tan B＝ ≤ 1 ＋3tan A2tan A3. 32 2 1 ·3tan Atan A＝33 ，当且仅当tan A＝时等号33 成立，所以tan B的最大值为答案 －3 3 3 17.(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. 解 (1)由题设及正弦定理得sin Asin因为sin A≠0，所以sin A＋C2 ＝bsin A. A＋C2 ＝sin Bsin A. A＋C2 ＝sin B. ＝cos， 22 由A＋B＋C＝180°，可得sin故cos＝2sincos. 222 A＋CBBBBBB1 因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°. 222 (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝又由(1)知A＋C＝120°， 故由正弦定理得a＝ 3 a. 4 csin Asin（120°－C）31 ＝＝＋. sin Csin C2tan C2 由于△ABC为锐角三角形，故0° 所以 282因此△ABC面积的取值范围是? 3??3 ，?. 2??8 18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2，2cos(1)若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围； (2)当△ABC的周长取最大值时，求b的值. 解 由2cos 2 2 B＋C4 ＋sin A＝. 25 B＋C441 ＋sin A＝，得1＋cos(B＋C)＋sin A＝，即sin A－cos A＝－， 2555 4322 又0 3 (1)若满足条件的△ABC有且只有一个，则有a＝bsin A或a≥b，当a＝bsin A时，有2＝b， 510 ∴b＝，当a≥b时，0＜b＜2. 3 ?10? 则b的取值范围为(0，2]∪??. ?3? (2)设△ABC的周长为l，由正弦定理得 l＝a＋b＋c＝a＋ (sin B＋sin C) sin Aa10 ＝2＋[sin B＋sin(A＋B)] 3 10 ＝2＋[sin B＋sin Acos B＋cos Asin B] 3＝2＋2(3sin B＋cos B) ＝2＋210sin(B＋θ)， 10 ?sin θ＝，?10 其中θ为锐角，且? 310 cos θ＝，??10 lmax＝2＋210，当cos B＝ a10310 ，sin B＝时取到. 1010 此时b＝sin B＝10. sin A
浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第8节正弦定理和余弦定理及其应用含解析
