π13
＜A＜π，所以A＝.因为△ABC的面积为S＝3＝bcsin A＝bc，所以bc＝4.由余弦定
324理可得a＝b＋c－bc≥bc＝4，所以a≥2，当且仅当b＝c＝2时，a取最小值2.
132322
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝(a＋c－b)＝×2accos B，所以tan B＝3，因为
2440° 3csin C，所以＝3asin A2 2 2 sin（120°－A）sin 120°cos A－cos 120°sin A31c＝＝＋>2，故的取值范围为 sin Asin A2tan A2a(2，＋∞). (3)设△ABC的外接圆的圆心为O，则由正弦定理得OA＝OB＝OC＝＝3，又因为∠BOC2sin A2π1π222 ＝2∠BAC＝，所以∠OBC＝(π－∠BOC)＝，则在△BOD中，由余弦定理得OD＝BO＋BD326π22 －2BO·BDcos∠OBC＝(3)＋2－2×3×2cos ＝1，所以OD＝1，则AD≤AO＋OD＝3＋1， 6当且仅当A，O，D三点共线时等号成立，所以AD的最大值为3＋1. π 答案 (1) 2 (2)60° (2，＋∞) (3)3＋1 3 基础巩固题组 一、选择题 2π23 1.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，b＝，则B＝( ) 33π A. 3π5πC.或 66 2π23解析 ∵A＝，a＝2，b＝， 33∴由正弦定理＝可得 sin Asin B233b31 sin B＝sin A＝×＝. a2222ππ ∵A＝，∴B＝. 36答案 D 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a＝2b(1－sin A)，则A＝( ) 2 2 BCB.D. 5π 6π 6 abA. 3π 4 B.D. π 3π 6 πC. 4 b2＋c2－a22b2－a222 解析 在△ABC中，由b＝c，得cos A＝＝，又a＝2b(1－sin A)，所以cos 2 2bc2bA＝sin A， π 即tan A＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝，故选C. 4答案 C 3.(一题多解)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为A.30° C.60° B.45° D.75° 3 ，则C＝( ) 2 13 解析 法一 ∵S△ABC＝·AB·AC·sin A＝， 22 13 即×3×1×sin A＝，∴sin A＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°， 22∴C＝60°.故选C. sin Bsin C1sin C法二 由正弦定理得＝，即＝， ACAB23sin C＝ 3 ，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°. 2 当C＝120°时，A＝30°， S△ABC＝S△ABC＝33 ≠(舍去).而当C＝60°时，A＝90°， 423 ，符合条件，故C＝60°.故选C. 2 答案 C 4.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为则C＝( ) πA. 2πC. 4 B.D.π 3π 6 2 2 2 2 2 2 a2＋b2－c2 4 ，1a＋b－ca＋b－c解析 根据题意及三角形的面积公式知absin C＝，所以sin C＝＝cos C， 242abπ 所以在△ABC中，C＝. 4 答案 C a＋c2B5.在△ABC中，cos＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) 22cA.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 a＋c2B解析 因为cos＝， 22ca＋ca2B所以2cos－1＝－1，所以cos B＝， 2cca2＋c2－b2a222 所以＝，所以c＝a＋b. 2acc所以△ABC为直角三角形. 答案 B 6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 因为在△ABC中，a＞b?sin A＞sin B?sinA＞sinB?2sinA＞2sinB?1－2sinA＜1－2sinB?cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充要条件. 答案 C 二、填空题 7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________. 2 2 2 2 2 2 解析 由正弦定理，得sin B＝－B－C＝75°. 答案 75° bsin C＝c6×3 32 ＝ 2 ，结合b 8.(2020·上海嘉定区质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________. a2＋c2－b21 解析 因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，整理得：a＋c－b＝－ac，即＝－＝cos B， 2ac2 2 2 2 2π2π 所以B＝，故填. 33 答案 2π 3 ?π?72，0＜A＜π，AC＝5，AB＝3，则 9.(2019·杭州二中模拟)在三角形ABC中，sin?A＋?＝ 4?104? sin A的值为________，BC的长为________. ππππ?π?72，所以cos?A＋π?＝2， 解析 因为0＜A＜，所以＜A＋＜.因为sin?A＋?＝?4?104?4442???10ππ7222??π?π??π??π?所以sin A＝sin??A＋?－?＝sin?A＋?cos －cos?A＋?·sin ＝×－ 4?4?4?4?4410210????× 234222 ＝.所以cos A＝.所以BC＝AC＋AB－2AC·AB·cos A＝25＋9－24＝10，所以BC＝255 10. 3答案 5 10 10.(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________. 解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC＝sin∠ABC. 由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2， 则sin∠ABC＝ 151 ，cos∠ABC＝. 44 1 所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC 211515＝×2×2×＝. 242 1因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－ 4 BD2＋BC2－CD28－CD2＝＝，所以CD＝10. 2BD·BC8 4＋10－410由余弦定理得cos∠BDC＝＝. 42×2×10答案 15 2 10 4 三、解答题 1 11.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－. 7(1)求A； (2)求AC边上的高. 1 解 (1)在△ABC中，因为cos B＝－， 7所以sin B＝1－cosB＝由正弦定理得sin A＝ 2 43 . 7 asin B3 ＝. b2 πππ 由题设知 223(2)在△ABC中， 因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝3333 所以AC边上的高为asin C＝7×＝. 142 12.在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC. sin B(1)求； sin C(2)若∠BAC＝60°，求B. 解 (1)由正弦定理得 ＝，＝. sin Bsin∠BADsin Csin∠CAD33 ， 14 ADBDADDC 因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以 sin BDC1 ＝＝. sin CBD2 (2)因为C＝180°－(∠BAC＋B)，∠BAC＝60°，所以 sin C＝sin(∠BAC＋B)＝ 31 cos B＋sin B. 22 3 ， 3 由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝即B＝30°. 能力提升题组 13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝b＋c－bc，且sin B＝3cos 2 2 2 C，则下列结论中正确的是( ) πA.A＝ 6πC.C＝ 2 B.c＝2a D.△ABC是等边三角形
浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第8节正弦定理和余弦定理及其应用含解析
