第8节 正弦定理和余弦定理及其应用
考试要求 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos__A； 公式 ＝＝＝2R sin Asin Bsin Cabcb2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； 常见变形 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； 2R2R2R(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin abcb2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2aca2＋b2－c2cos C＝ 2abC＝csin A； 111abc1
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，
2224R2并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 bsin A
1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角时，有时出现一解、两解或无解的情况，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).
2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b＋c－a>0时，△ABC为锐角三角形；当b＋c－a＝0时，△ABC为直角三角形；当
2
2
2
2
2
2
b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )
(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ) 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时不可求三边.
(4)当b＋c－a>0时，A为锐角，但B、C不一定为锐角，△ABC不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
3
2.在△ABC中，内角C为钝角，sin C＝，AC＝5，AB＝35，则BC＝( )
5A.2 C.5
B.3 D.10
2
2
2
4?4?222
解析 由题意知cos C＝－，设BC＝x，由余弦定理得(35)＝5＋x－2×5x·?－?，化简
5?5?得x＋8x－20＝0，解得x1＝2，x2＝－10(舍去)，所以BC＝2，故选A. 答案 A
3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， π
即A＝B或A＋B＝，
2
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形
4.(2019·九江一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cosA－cosB＋sinC2
2
2
2
1
＝sin Bsin C＝，且△ABC的面积为3，则a的值为________.
41222
解析 △ABC中，由cosA－cosB＋sinC＝sin Bsin C＝，
4
得1－sinA－(1－sinB)＋sinC＝sinB＋sinC－sinA＝sin Bsin C，∴b＋c－a＝bc，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b2＋c2－a21
由余弦定理得cos A＝＝，
2bc2
π
又A∈(0，π)，∴A＝；
3由正弦定理＝＝，
sin Asin Bsin Cabcbca2bca2
∴＝＝， 2，即sin Bsin CsinA12π
4
化简得a＝3bc；
1
又△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝3，
2∴bc＝4，∴a＝12，解得a＝23. 答案 23
5.(2019·杭州质检)设a，b，c分别为△ABC的三边长，若a＝3，b＝5，c＝7，则cos C＝________；△ABC的外接圆半径等于________.
2
2
sin
3
a2＋b2－c232＋52－72132解析 由题意得cos C＝＝＝－，则sin C＝1－cosC＝，则△ABC2ab2×3×522c73
的外接圆的半径等于＝.
2sin C3
173
答案 －
23
1
6.(2020·绍兴适应性考试)已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若cos A＝，b32
＝c，且△ABC的面积是2，则b＝________，sin C＝________. 3
122113b222
解析 由cos A＝得sin A＝1－cosA＝，则△ABC的面积为bcsin A＝b××＝
332223323222
2，解得b＝2，则c＝，由余弦定理得a＝b＋c－2bccos A＝＝c，所以sin A2222
＝sin C＝.
3答案
2 22
3
考点一 利用正、余弦定理解三角形
C5
【例1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
25
A.42 C.29
B.30 D.25
(2)(2020·杭州四中仿真)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC3
的面积为.且sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为( )
2A.4＋23 C.3－1
B.4－23 D.3＋1
(3)(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
132C222
解析 (1)因为cos C＝2cos－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理得AB＝AC＋BC－
255
?3?2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×?－?＝32，所以AB＝42，故选A.
?5?
113
(2)由题意得△ABC的面积为acsin B＝acsin 30°＝，解得ac＝6，又由sin A＋sin C＝
2222sin B结合正弦定理得a＋c＝2b，则由余弦定理得b＝a＋c－2accos B＝(a＋c)－2ac－3
2
2
2
2
ac＝4b2－12－63，解得b＝3＋1，故选D.
43
(3)如图，易知sin C＝，cos C＝.
55
在△BDC中，由正弦定理可得
BDsin C＝
，
sin ∠BDCBC43×
5122BC·sin C∴BD＝＝＝.
sin ∠BDC52
2由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD ＝sin[π－(C＋∠BDC)] ＝sin(C＋∠BDC)
＝sin C·cos ∠BDC＋cos C·sin ∠BDC 423272＝×＋×＝. 525210
12272答案 (1)A (2)D (3)
510
规律方法 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时需判断其解的个数，用余弦定理时可根据一元二次方程根的情况判断解的个数. 【训练1】 (1)在△ABC中，已知A＝30°，AB＝2，BC＝6，则cos∠ACB＝________，AC＝________.
45
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
513
BCAB630
解析 (1)根据正弦定理＝，可得sin∠ACB＝，故cos∠ACB＝，又因为
sin Asin∠ACB66AB2＋AC2－BC222＋AC2－（6）23
cos A＝＝＝，所以AC＝3＋5.
2AB·AC2×2×AC2
45312
(2)在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)
51351363asin B21
＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.
65sin A13答案 (1)
30
6
21
3＋5 (2)
13
变式迁移
考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
【例2】 (经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.不确定
2
解析 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sinA， ∴sin(B＋C)＝sinA，即sin A＝sinA.
π
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝.
2∴△ABC为直角三角形. 答案 B
【变式迁移1】 (一题多解)将本例条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是( ) A.直角三角形 C.等腰直角三角形
B.等腰三角形 D.等边三角形
2
2
浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第8节正弦定理和余弦定理及其应用含解析
