①大于
11，并且小于； ②分子和分母都是质数； ③分母是两位数． 65
【分析与解】 由①知分子是大于1，小于20的质数．
222与之间，在这之间的只有符合要求． 10811333 如果分子是3，那么这个分数应该在与之间，15与18之间只有质数17，所以分数是．
151817 如果分子是2，那么这个分数应该在
同样的道理，当分子是5，7，11，13，17，19时可以得到下表．
分子 2 3 5 7
于是，同时满足题中条件的分数共13个．
5．一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列， 最少还能排出多少个能被11整除的六位数?
【分析与解】 设这个六位数为abcdef，则有(a?c?e)、(b?d?f)的差为0或11的倍数． 且a、b、c、d、e、f均不为0，任何一个数作为首位都是一个六位数．
先考虑a、c、e偶数位内，b、d、f奇数位内的组内交换，有P3×P3=36种顺序； 再考虑形如badcfe这种奇数位与偶数位的组间调换，也有P3×P3=36种顺序．
所以，用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可以排出36+36=72个能被11整除的数(包含原来的abcdef)． 所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数．
3333分数 分子 11 13 17 19
分数
2 113 175 2937, 37411111, 5961131313,, 6771731717, 899719 97
6．在大于等于1998，小于等于8991的整数中，个位数字与十位数字不同的数共有多少个?
【分析与解】 先考虑2000～8999之间这7000个数，个位数字与十位数字不同的数共有7×10×P10=6300． 但是1998，8992～8998这些数的个位数字与十位数字也不同，且1998在1998～8991内，8992～8998这7个数
不在1998～8991之内．
所以在1998～8991之内的个位数字与十位数字不同的有6300+1-7=6294个．
7．个位、十位、百位上的3个数字之和等于12的三位数共有多少个?
【分析与解】 12 = 0 + 6 + 6 = 0 + 5 + 7 = 0 + 4 + 8 = 0 + 3 + 9 = 1 + 5 + 6= 1 + 4 + 7
= 1 + 3 + 8 = 1 + 2 + 9 = 2 + 5 + 5 = 2 +4 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 2 + 8 = 3 + 4 + 5 = 3 + 3 + 6 = 4 + 4 + 4． 其中三个数字均不相等且不含0的有7组，每组有P3种排法，共7×P3=42种排法；
其中三个数字有只有2个相等且不含0的有3组，每组有P3÷2种排法，共有3×P3÷2=9种排法； 其中三个数字均相等且不含0的只有1组，每组只有1种排法；
在含有0的数组中，三个数字均不相同的有3组，每组有2P2种排法，共有3×2×P2=12种排法； 在含有0的数组中，二个数字相等的只有1组，每组有2P2÷2种排法，共有2种排法． 所以，满足条件的三位数共有42 + 9 + 1 + 12 + 2 = 66个．
8．一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”． 例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．
问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?
【分析与解】 我们将回文数分为一位、二位、三位、…、六位来逐组计算． 所有的一位数均是“回文数”，即有9个；
在二位数中，必须为aa形式的，即有9个(因为首位不能为0，下同)；
在三位数中，必须为aba(a、b可相同，在本题中，不同的字母代表的数可以相同)形式的， 即有9×10 =90个；
在四位数中，必须为abba形式的，即有9×10个；
22233332
在五位数中，必须为abcba形式的，即有9×10×10=900个； 在六位数中，必须为abccba形式的，即有9×10×10=900个．
所以共有9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998个，最大的为999999，其次为998899，再次为997799． 而第1996个数为倒数第3个数，即为997799．
所以，从一位到六位的回文数一共有1998个，其中的第1996个数是997799．
9．一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:2430，那么从8时到9时这段时间里， 此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?
【分析与解】 设A:BCDE是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5
这6个数字中选择两个不同的数字，所以有P6种选法，而C、E应从剩下的7个数字中 选择两个不同的数字，所以有P7种选法，所以共有P6×P7=1260种选法，
即从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个．
10．有些五位数的各位数字均取自1，2，3，4，5，并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是1．
问这样的五位数共有多少个?
【分析与解】 如下表，我们一一列出当首位数字是5，4，3时的情况．
首位数字 5 4 3
2222
??55?4????4????5?5?4??4??
?3???3???3??2???????1所
有 满 足 题 意 的 数 字 列 表
??5?4??5?4???5??3??4???????5?4???4???4???4
???3??2???3??????4???3???2?????2???1?2??????5??5?4???3??????5?4??4????????3??3?????2??3????1????3??
????5???4??3???3????????3?2???2??????1??3??1?2??????1??12
满足题意的
数字个数
6 9
因为对称的缘故，当首位数字为1时的情形等同与首位数字为5时的情形， 首位数字为2时的情形等同于首位数字为4时的情形．
所以，满足题意的五位数共有6 + 9 + 12 + 9 + 6 = 42个．
11．用数字1，2组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个?
【分析与解】 当只有四个连续的1时，可以为11112 * * *,211112 * * ,* 211112 *,
* *211112，* * * 21111，因为 * 号处可以任意填写1或2，
32223
所以这些数依次有2，2，2，2，2个，共28个；
当有五个连续的l时，可以为111112 * * ，2111112 *，*2111112，* * 211111，
22
依次有2，2，2，2个，共12个；
当有六个连续的1时，可以为1111112 *，21111112，* 2111111，依次有2，1，2个，共5个； 当有七个连续的1时，可以为11111112，21111111，共2个： 当有八个连续的l时，只能是11111111，共1个．
所以满足条件的八位数有28 + 12 + 5 + 2 + 1=48个．
12．在1001，1002，…，2000这1000个自然数中，
可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位?
【分析与解】 设1bcd,xyzw为满足条件的两个连续自然数，有xyzw=1bcd+1． 我们只用考察1bcd的取值情况即可．
我们先不考虑数字9的情况(因为d取9，则w为0，也有可能不进位)，
则d只能取0，1，2，3，4；c只能取0，1，2，3，4；b只能取0，1，2，3，4；
对应的有5×5×5=125组数．
当d=9时，有1bc9的下一个数为1b(c?1)0，要想在求和时不进位，必须c?(c?1)≤9，
所以c此时只能取0，1，2，3，4；而b也只能取0，1，2，3，4；共有5×5=25组数．
当cd=99时，有1b99的下一个数为1(b?1)00，要想在求和时不进位，必须b+(b+1)≤9，
所以b此时只能取0，1，2，3，4；共有5组数．
所以，在1001，1002，…，2000这1000个自然数中，可以找到125 + 25 + 5 = 155对相邻的自然数， 满足它们相加时不进位．
13．把1995，1996，1997，1998，1999这5个数分别填入图20-1中的东、南、西、北、中5个方格内，
使横、竖3个数的和相等．那么共有多少种不同填法?
【分析与解】 显然只要有“东”+“西”=“南”+“北”即可，剩下的一个数字即为“中”．
因为题中五个数的千位、百位、十位均相同，所以只用考虑个位数字， 显然有5 + 9 = 6 + 8，5 + 8 = 6 + 7，6 + 9 = 7 + 8． 先考察5 + 9 = 6 + 8，可以对应为“东”+“西”=“南”+“北”，因为“东”、“西”可以调换，“南”、“北”可以对调，有2×2=4种填法，而“东、西”，“南、北”可以整体对调，于是有4×2=8种填法． 5 + 8 = 6 + 7，6 + 9 = 7 + 8同理均有8种填法，所以共有8×3=24种不同的填法．
14．在图20-2的空格内各填人一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大，同一列内上面的数比下面的数小，并且方格内的6个数字互不相同，例如图20-3为一种填法．那么共有多少种不同的填法?
2 3
图20-2
6 4 2 7 5 3
图20-3 【分析与解】 为了方便说明，标上字母：
C D 2
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