专题限时集训(九) 直线与圆
[专题通关练] (建议用时：30分钟)
1．(2024·江阴模拟)点P是直线x＋y－2＝0上的动点，点Q是圆x＋y＝1上的动点，则线段PQ长的最小值为( )
A.2－1 C.2＋1
2
2
2
2
B．1 D．2
A [根据题意，圆x＋y＝1的圆心为(0,0)，半径r＝1，圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0|2|
的距离d＝＝2，
2
则线段PQ长的最小值为2－1，故选A.]
2．直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
C [由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线
l1与l2重合，不合题意．所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.]
3．圆x－4x＋y＝0与圆x＋y＋4x＋3＝0的公切线共有( ) A．1条 C．3条
2
2
2
2
2
2
B．2条 D．4条
2
2
D [根据题意，圆x－4x＋y＝0，即(x－2)＋y＝4，其圆心坐标为(2,0)，半径为2； 圆x＋y＋4x＋3＝0，即圆(x＋2)＋y＝1，其圆心坐标为(－2,0)，半径为1； 则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，
因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共4条．故选D.]
4．直线y＝kx＋3被圆(x－2)＋(y－3)＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π5π
或 66
ππ
B．－或 33D.π 6
2
2
2
2
2
2
ππC．－或
66
A [由题意可知，圆心P(2,3)，半径r＝2， ∴圆心P到直线y＝kx＋3的距离d＝
|2k|1＋k2
，
- 1 -
24k3?23?22
由d＋??＝r，可得1＋k2＋3＝4，解得k＝±3.
?2?
2
设直线的倾斜角为α，则tan α＝±π5π∴α＝或.]
66
3
，又α∈[0，π)， 3
5．在平面直角坐标系xOy中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0(m∈R)相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是( )
A．(x＋2)＋y＝16 C．(x＋2)＋y＝25
2
2
2
2
B．(x＋2)＋y＝20 D．(x＋2)＋y＝36
2
2
22
C [将直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0变形为(3x－2y)m＋(x＋y－5)＝0.
??3x－2y＝0，由???x＋y－5＝0，
??x＝2，
得???y＝3.
即直线恒过定点M(2,3)．
设圆心为P，即P(－2,0)，由题意可知， 当圆的半径r＝|MP|时，
圆的面积最大，此时|MP|＝r＝25. 即圆的标准方程为(x＋2)＋y＝25.]
6．若P(2，－1)为圆(x－1)＋y＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是________．
2
2
2
2
2
2
x－y－3＝0 [记题中圆的圆心为O，则O(1,0)，因为P(2，－1)是弦AB的中点，所以
直线AB与直线OP垂直，易知直线OP的斜率为－1，所以直线AB的斜率为1，故直线AB的方程为x－y－3＝0.]
7．若圆x＋y＝4与圆x＋y＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为22，则a＝________.
??x＋y＝4，10
[联立两圆方程?222?x＋y＋ax＋2ay－9＝0，?
2
2
2
2
2
2
可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为 |－5|
＝5
(a>0)．故2a2＋4a2
a?5?2
2－??＝22，
?a?
2
5102
解得a＝，因为a>0，所以a＝.] 22
8．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x＋y－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
2
2
- 2 -
3 [圆的标准方程为(x－1)＋(y－1)＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1，根据对称性
122
可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝|PC|－r，要使四边形PACB的面积
2最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝10
＝2. 5
所以四边形PACB面积的最小值为|PC|min－r＝4－1＝3.]
[能力提升练] (建议用时：20分钟)
9．实数x，y满足x＋y＋2x＝0，则A．[－3，3] C.?－2
2
2
2
22
|3－4＋11|3＋－4
2
2
＝yx－1
的取值范围是( )
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D.?－∞，－
2
2
??33?，? 33??
?3??3??∪?，＋∞? 3??3?
C [设
＝t，，则tx－y－t＝0与圆(x＋1)＋y＝1有交点，∴圆心(－1,0)到直线txx－1
y|－t－t|33
－y－t＝0的距离d＝≤1，解得－≤t≤.故选C.]
33t2＋1
10．(2024·赣州模拟)已知动直线y＝kx－1＋k(k∈R)与圆C：x＋y－2x＋4y－4＝0(圆心为C)交于点A、B，则弦AB最短时，△ABC的面积为 ( )
A．3 C.5
2
2
2
2
B．6 D．25
2
2
D [根据题意，圆C：x＋y－2x＋4y－4＝0可化为(x－1)＋(y＋2)＝9，其圆心为(1，－2)，半径r＝3.动直线y＝kx－1＋k，即y＋1＝k(x＋1)，恒过定点P(－1，－1)，又由(－1－1)＋(－1＋2)＜9，可知点P(－1，－1)在圆C的内部，动直线y＝kx－1＋k(k∈R)与圆C：
2
2
x2＋y2－2x＋4y－4＝0(圆心为C)交于点A、B，当P为AB的中点即CP与AB垂直时，弦AB最
短，此时|CP|＝5，弦AB的长度为2×r－|CP|＝4，
11
此时，△ABC的面积S＝×|CP|×|AB|＝×4×5＝25.故选D.]
22
1??22
11．若圆C：x＋?y＋?＝n的圆心为椭圆M：x＋my＝1的一个焦点，且圆C经过椭圆
?2m?
2
2
2
2
M的另一个焦点，则圆C的标准方程为________．
x2＋(y＋1)2＝4 [∵圆C的圆心为?0，－?，
2m??
?
1?
- 3 -
∴
1
11
－1＝，解得m＝.又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0,1)，从而nm2m2
2
2
＝4，故圆C的标准方程为x＋(y＋1)＝4.]
3??1
12．(2024·九江二模)已知圆E经过M(－1,0)，N(0,1)，P?，－?三点．
2??2(1)求圆E的方程；
(2)若过点C(2,2)作圆E的两条切线，切点分别是A，B，求直线AB的方程． [解](1)根据题意，设圆E的圆心E坐标为(a，b)，半径为r，
??a＋b－1＝r，
则有?
1?2?3?2?a－?＋?b＋?＝r，????2??2?
2
2
2
2
a＋1
2
＋b＝r，
22
2
a＝0，??
解得?b＝0，
??r＝1，
则圆E的方程为x＋y＝1.
(2)根据题意，过点C(2,2)作圆E的两条切线，切点分别是A，B， 设以C为圆心，CA为半径的圆为圆C，其半径为R， 则有R＝|CA|＝|OC|－r＝7， 则圆C的方程为(x－2)＋(y－2)＝7， 即x＋y－4x－4y＋1＝0，
??x＋y＝1，
又由直线AB为圆E与圆C的公共弦所在的直线，则有?22
?x＋y－4x－4y＋1＝0，?
2
2
2
2
22
2
22
解得2x＋2y－1＝0，则AB的方程为：2x＋2y－1＝0.
题号 1
内容 点到直线的距离公式，数形押题依据 由动态的观点，分析直线与圆的位置关系，并通过数- 4 -
结合思想 形结合的思想及方程思想确定方程的具体位置，体现了高考的最新动向 直线与圆的位置关系，平面2 向量，轨迹问题，根与系数的关系 用代数的方法研究直线与圆的位置关系可以巧妙的将函数与方程，根与系数的关系等知识交汇在一起，考查考生的运算能力和等价转化能力 22【押题1】 已知直线l：x－2y＋4＝0，圆C：(x－1)＋(y＋5)＝80，那么圆C上到l的距离为5的点一共有( )
A．1个 C．3个
2
2
B．2个 D．4个
C [由圆C：(x－1)＋(y＋5)＝80，可得圆心C(1，－5)，半径R＝45， 又圆心C(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的|1－2×－5＋4|15
距离d＝＝＝35， 如图所示，由图22
1＋－25象可知，点A，B，D到直线x－2y＋4＝0的距离都为5，所以圆C上到l的距离为5的点一共3个，故选C.]
【押题2】 已知圆C：(x－2)＋(y－2)＝16，点A(10,0)． (1)设点P是圆C上的一个动点，求AP的中点Q的轨迹方程； →→
(2)直线l：kx－y－10k＝0与圆C交于M，N，求AM·AN的值． [解](1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，则(x0－2)＋(y0－2)＝16， 由x＝
2
2
2
2
x0＋10
2
，y＝
y0＋0
2
，解得x0＝2x－10，y0＝2y.
2
2
代入圆的方程可得：(2x－10－2)＋(2y－2)＝16， 即(x－6)＋(y－1)＝4.
∴AP的中点Q的轨迹方程为：(x－6)＋(y－1)＝4.
(2)直线l：kx－y－10k＝0与圆C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)， 把直线l的方程代入圆的方程可得：(x－2)＋(kx－10k－2)＝16， 化为：(1＋k)x－(20k＋4k＋4)x＋100k＋40k－12＝0.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Δ＞0.
100k＋40k－1220k＋4k＋4
∴x1x2＝，x1＋x2＝. 22
1＋k1＋k→→
∴AM·AN＝(x1－10，y1)(x2－10，y2)＝(x1－10)(x2－10)＋y1y2＝(x1－10)(x2－10)＋(kx1
－10k)(kx2－10k)
＝(1＋k)x1x2－(10k＋10)(x1＋x2)＋100＋100k
2
2
2
2
2
- 5 -
100k＋40k－1220k＋4k＋422
＝(1＋k)－(10k＋10)＋100＋100k＝48. 22
1＋k1＋k2
22
- 6 -
2024版高考数学二轮复习专题限时集训9直线与圆（理）
