复数代数形式的四则运算
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1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值． 2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义． 3．理解复数代数形式的乘、除运算法则． 4．会进行复数代数形式的乘、除运算． 5．了解互为共轭复数的概念． 一.复数的加法与减法． 1.复数的加、减法法则．
(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． 即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)． 2.复数加法的运算律．
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二．复数加、减法的几何意义．
→→
复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线．
→→→
1．复数加法的几何意义：复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．
→→
2．复数减法的几何意义：复数z1－z2是连结向量OZ1，OZ2的终点，并指向被减向量所对应的复数．
三．复数代数形式的乘法法则 (1)复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． (2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3． 四．共轭复数
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d，z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0．
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五．复数代数形式的除法法则
a＋biac＋bdbc－ad(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(c＋di≠0)．
c＋dic2＋d2c2＋d2类型一.复数的加减运算
例1：若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2
B．4
C．3
D．－4
解析：z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B. 答案：B
例2：已知z1=2+i，z2=1-2i，则复数z=z2-z1对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i，故z对应的点为(-1，-3)，在第三象限. 答案:C
练习1：3.若复数z1=a-i，z2=-4+bi，z1-z2=6+i，z1+z2+z3=1(a，b∈R)，则z3为( ) A.-1-5i B.-1+5i C.3-4i D.3+3i 解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+bi)=a+4-(1+b)i=6+i， ∴a=2，b=-2，
∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D. 答案:D
练习2：已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i，z2=a-(a2-2)i(a∈R)，且z1-z2为纯虚数，则a=________. 解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数， 所以解得a=-1. 答案：a=-1.
类型二.复数的几何意义
例3：若复平面上的?ABCD中，对应复数6+8i，对应复数为-4+6i，则对应的复数是( ) A.-1-7i B.2+14i C.1+7i D.2-14i
解析：设对应的复数分别为z1与z2，则有于是2z2=2+14i，z2=1+7i，故对应的复数是-1-7i. 答案：A
练习1：A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1+z2|=|z1-z2|，则三角形AOB一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析:根据复数加(减)法的几何意义知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形.
答案：B
类型三.复数的乘除运算
z
例4： 设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( )
1＋i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
z
解析：∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
1＋i答案：A
练习1： 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( ) A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
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解析：本题考查复数的乘法，复数的几何意义． ∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i， ∴z1z2＝－1－4＝－5，故选B. 答案：B
1＋2i
练习2： 设a，b为实数，若复数＝1＋i，则( )
a＋bi31
A．a＝，b＝
22
B．a＝3，b＝1
13
C．a＝，b＝
22
D．a＝1，b＝3
1＋2i
解析：由＝1＋i可得1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，
a＋bi
?a－b＝1，31所以?解得a＝，b＝，故选A.
22?a＋b＝2，
答案：A 类型四.共轭复数
－
2－z，－
例５： 设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是z，则等于( )
zA．－1－2i
B．－2＋I
C．－1＋2i
D．1＋2i
－2－z，2－?－1＋i??3－i??－1＋i?
解析：由题意可得＝＝＝－1＋2i，故选C.
z－1－i?－1－i??－1＋i?答案：C
13练习1： 已知复数z＝－＋i，则z＋|z|＝( )
2213A．－－i
22
13B．－＋I
22
13C.＋i 22
13D．－i
22
1313解析：因为z＝－＋i，所以z＋|z|＝－－i＋2222
答案：D
1313?－?2＋??2＝－i. 2222
－
练习2： 已知复数z满足(1－i)z＝i2019(其中i为虚数单位)，则z的虚部为( ) 1A. 2
1B．－ 2
1C.i 2
1D．－i
2
解析：∵2019＝4×503＋3，∴i2019＝i3＝－i.∴z＝
－i111
＝－i.∴z的虚部为－.故选B.
21－i22
答案：B
1. 设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( ) A．充分必要条件 C．充分不必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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答案：A
2.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( ) A．3
B．2
C．1
D．－1
答案：D
3.已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的( ) A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：A
4. 已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是( ) －
A．z－z为纯虚数
B．任何数的偶数次幂均为非负数 C．i＋1的共轭复数为i－1 D．2＋3i的虚部为3 答案：D
z1
5. 已知复数z1＝a＋i，z2＝1＋i，其中a∈R，是纯虚数，则实数a的值为( )
z2A．－1 答案：A
1－z
6.设复数z满足＝i，则|1＋z|＝( )
1＋zA．0 答案：C
７． 已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个顶点对应的复数是________________．
答案：2－i
1＋ai
８.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为________________
2－i答案：2
→→
９.已知平行四边形ABCD中，AB与AC对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
→
(1)求AD对应的复数； →
(2)求DB对应的复数； (3)求△APB的面积．
→→→→→→
答案：(1)由于ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD，于是AD＝AC－AB，而(1＋4i)－(3
B．1
C.2
D．2
B．1
C．－2
D．2
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→
＋2i)＝－2＋2i，即AD对应的复数是－2＋2i.
→→→→
(2)由于DB＝AB－AD，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即DB对应的复数是5. 11→→1→
－，－2?， (3)由于PA＝CA＝－AC＝??2?225?→1→
PB＝DB＝??2，0?， 2
517→5→→→于是PA·PB＝－，而|PA|＝，|PB|＝，
422所以
1755··cos∠APB＝－， 224
17417
，故sin∠APB＝， 1717
因此cos∠APB＝－1→→11754175
故S△APB＝|PAPB|sin∠APB＝×××＝.
22221725
即△APB的面积为.
2
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基础巩固
z
１．已知＝2＋i，则复数z＝( )
1＋iA．－1－3i 答案：B
２． 若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( ) A．1 答案：C
3π5π?３.若θ∈??4，4?，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在( ) A．第一象限 答案：B
４． 设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________. 答案：3
５．设θ∈[0，2π]，当θ＝________________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数． π5答案：或π
44
６.在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第________________象限． 答案：三
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B．2
C.2
D.3
B．1－3i
C．3＋I
D．3－i
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人教版高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学案3.2：复数代数形式的四则运算(教师版)
