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有理数的巧算
一． 结合律
加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，再加第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变．
乘法结合律：三个数相乘,先把前面两个数相乘,先乘第三个数,或者先把后面两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变． 二．分配律
乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,等于把两个加 数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变. 三．裂项法
在一些题型中，需要运用拆项法（也称裂项法）进行简便运算，运用拆项法使得拆项后的一些数能够互相抵消，达到简化运算的目的．
常用拆项公式：
111??n?n?1?nn?111?11?????n?n?k?k?nn?k?（2）；
（1）；
（
n?2?1??n?3）
?11?11????n?n?1??n?2?2???n?n?1??n?1??n?2??1，
n或
???1?2??n?????1?n；
n1n2a?b11b?a11????a?baba?bab． （4），
四．换元法
我们经常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从下手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字（换元法），
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能够达到化繁为简，化难为易的效果．探索算式的结构往往是解决这类问题的突破口，其步骤大致分为三步：
（1）比对观察：寻找并发现题目中的结构与规律； （2）总结归纳：把数字转化为字母，化繁为简；
（3）代数计算：利用代数的方法，仔细地将冗长的题目化难为易，解决问题． 一． 考点：结合律、分配律、裂项法、换元法． 二．重难点：裂项法、换元法．
三．易错点：裂项法要注意相邻两数之差是多少． 题模一：结合律
?15??15??15??8?????12?????4?????29??29??29? 例1.1.1
【答案】 0
【解析】 该题考查的是有理数巧算．
15观察该题，发现都含有共同的因数29．因此先提取公因数
??15????8?12?4??????29?， 原式
例1.1.2 计算：【答案】 ?49.5
3.228???9????3.772??9???1.5?9?
【解析】
3.228???9????3.772??9???1.5?9?
题模二：分配律
311??836）． 例1.2.1 计算：1﹣24×（﹣
【答案】 6．
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【解析】 原式=1+9﹣8+4=6． 例1.2.2 阅读下列材料：
12112计算（﹣30）÷（3﹣10+6﹣5）
12111112解法①：原式=（﹣30）÷3﹣（﹣30）÷10+（﹣30）÷6﹣（﹣30）÷5
121121511解法②：原式=（﹣30）÷[（3+6）﹣（10+5）]=（﹣30）÷（6﹣2）=﹣301×3=﹣10
211212112解法③：原式的倒数为（3﹣10+6﹣5）÷（﹣30）=（3﹣10+6﹣5）×（﹣30）
1=﹣20+3﹣5+12=﹣10故原式=﹣10
（1）上面得出的结果不同，其中肯定有错误的解法，你认为解法_____是错误的．在正确的解法中，你认为解法_____最简便，该解法运用的运算律是_____．
11323（2）请计算：（﹣42）÷（6﹣14+3﹣7）．
1【答案】 （1）①；③；乘法分配律（2）﹣8
【解析】 （1）上面得出的结果不同，有错误的解法，我认为解法①是错误的．在正确的解法中，我认为解法③最简便，该解法运用的运算律是乘法分配律．
13231（2）∵（6﹣14+3﹣7）÷（﹣42） 1323=（6﹣14+3﹣7）×（﹣42）
1323=6×（﹣42）﹣14×（﹣42）+3×（﹣42）﹣7×（﹣42）
=﹣7+9﹣28+18 =﹣8
题模三：裂项求和 例1.3.1 已知
ab?2?a?2?0，求
?1111???ab?a?1??b?1??a?2??b?2??a?2013??b?2013?的值．
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2014【答案】 2015
【解析】 由
ab?2?a?2?0知，a?2，b?1．
112014??201420152015
111???1?22?33?4原式
??111111?1??????2014?201522334?15791113151??????261220304256 例1.3.2 计算：
9【答案】 8
15791113151??????261220304256 【解析】
题模四：换元法 例1.4.1 计算：
1【答案】 2012
【解析】 设
a?11??23?111b???2012，23?12011．则
原式
?a?1?b??b?1?a??a?ab?b?ab?a?b?12012．
随练1.1 计算：【答案】 ?15
??15??32419???15?????15??171717
【解析】 提取公因数．
??15??32419?32419????15?????15????15???????15171717?171717?．
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?357?1??????随练1.2 ?4912?36
【解析】 该题考查的是实数的混合运算．
(?1517???)?(?36)126369
随练1.3 计算：
【答案】 2
【解析】 该题考查的是有理数的综合运算．
??1517???36?????36?????36?????36?126369
原式
?2
随练1.4 计算：【答案】
?12??8?????12?9?9?9???????5????12??4???12?16?16?16? ??916
9?9?9???????5????12??4???12?16?16?16? ??【解析】
??8?????12?随练1.5 阅读材料：计算：
(?(?12112)?(???)3031065
112?15111?21)??(?)?(??)??(?)?(?)???3??105?30623010； 解法1：原式＝30?36?2112??1??2112???????????????????30?解法2：原式的倒数为：?31065??30??31065? 1故原式＝10。
??1??1322??????????请阅读上述材料，选择合适的方法计算：?42??61437?。 1【答案】 14
?【解析】 该题考查的是有理数的混合运算．
?1???12??32????????????????解法1：原式?42???63??147??
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中考数学专题讲练 有理数的巧算（解析版）
