第一章 计数原理
滚动训练一(§1.1～§1.2)
一、选择题
1．4×5×6×…×(n－1)×n等于( ) A．An C．n！－4! 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算 答案 D
解析 因为An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以An＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n×(n－1)×…×6×5×4.
2．在某次数学测验中，学号i(i＝1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f(i)∈{90,92,93,96,98}，且满足f(1) 题点 有限制条件的组合问题 答案 D 解析 从所给的5个成绩中，任意选出4个的一个组合，即可得到四位同学的考试成绩按 mn－3 4 B．An D．An n－3 n－4 f(1) 意选出3个的一个组合，即可得到四位同学的考试成绩按f(1) 3．某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为( ) A．24 B．30 C．36 D．42 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 C 解析 把甲、乙两名员工看作一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有C4＝6(种)方法．再把这3部分人分到3个不同的部门，有A3＝6(种)方法．根据分步乘法计数原理可知，不同分法的种数为6×6＝36. 2 3 3 1 4．我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为( ) A．4 B．8 C．6 D．12 考点 排列的应用 题点 元素“在”与“不在”问题 答案 C 解析 利用间接法，任选中间5个的2个，再减去相邻的4个，故有C5－4＝6(种)，故选C. 5．2017年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有( ) A．34种 B．48种 C．96种 D．144种 考点 排列的应用 题点 排列的简单应用 答案 C 解析 根据题意，分3步进行分析： ①队长主动要求排在排头或排尾，则队长有2种站法； ②甲、乙两人必须相邻，将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，有A2＝2(种)情况； ③将甲、乙整体与其余3人进行全排列，有A4＝24(种)情况． 则满足要求的排法有2×2×24＝96(种)． 故选C. 6．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( ) A．30 B．60 C．120 D．240 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B C4C2C6C3 解析 先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有2种，再将余下的6人平均分成两组，有2 A2A2C4C6 种，然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有2＝60(种)． A2 22 23 22 33 4 2 2 7．在某次针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名记者进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有( ) A．180种 B．220种 2 C．260种 考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 C D．320种 解析 若3人中有2名中国记者和1名国外记者，则不同的提问方式的种数是C5C4A2＝80， 若3人中有1名中国记者和2名国外记者，则不同的提问方式的种数是C5C4A3＝180， 故所有的不同的提问方式的种数是80＋180＝260，故选C. 8．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法( ) A．36种 C．27种 考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 C 解析 ①P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大人，有A3＝6(种)情况． ②P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大人，有A3×A2＝12(种)情况． ③P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩共有C3×2＝6(种)情况． ④P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C3＝3(种)情况，则共有6＋12＋6＋3＝27(种)情况． 二、填空题 9．已知An＝2Cn＝272(m，n∈N)，则m＋n＝________. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 19 AnAnmm解析 ∵C＝m，∴An＝2m，∴Am＝2，∴m＝2. AmAmmnmmmm* 1 2 3 2 3 123 212 B．33种 D．21种 又An＝272，∴n(n－1)＝17×16，解得n＝17，∴m＋n＝19. 10．如图，从A→C有________种不同的走法． 2 3 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 6 解析 A到C分两类，第一类，A→B→C，分两步，第一步，A→B有2种走法，第二步，B→C有2种走法，故A→B→C有4种走法，第二类：A→C有2种走法，故A→C有4＋2＝6(种)走法，故答案为6. 11．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种． 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 36 解析 先将A，B捆绑在一起，有A2种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A4种摆法，共有A2A4种摆法，而A，B，C这3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻有2A3种摆法，故 43 A，B相邻，A，C不相邻的摆法有A22A4－2A3＝36(种)． 24 3 2 4 12．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 1 560 解析 先把6名技术人员分成4组，每组至少一人．若4个组的人数按3,1,1,1分配，则不C6C3C2C1同的分配方案有＝20(种)不同的方法． 3A3 C6C4C2 若4个组的人数为2,2,1,1，则不同的分配方案有×＝45(种)不同的方法． 2！2！故所有分组方法共有20＋45＝65(种)． 再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65A4＝1 560(种)． 三、解答题 13．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)若每盒至多一球，则有多少种放法？ (3)若恰好有一个空盒，则有多少种放法？ (4)若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？ 考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 解 (1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有 4 422 1 3111 4×4×4×4＝4＝256(种)放法． (2)这是全排列问题，共有A4＝24(种)放法． (3)先取四个球中的两个“捆”在一起，有C4种选法，把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子，有A4种投放方法，所以共有C4A4＝144(种)放法． (4)一个球的编号与盒子编号相同的选法有C4种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种，故共有C4×2＝8(种)放法． 四、探究与拓展 14．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大，当3,4固定在图中位置时，所填写空格的方法有( ) 1 1 3 23 2 4 4 A.6种 B．12种 C．18种 D．24种 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 A 3 4 解析 由题意可得数字1,2,9的位置也是固定的，如图所示，5,6,7,8四个数字在A，B，C， 2 D四个位置上，A，B两个位置的填法有C24种，C，D两个位置则只有C2种填法. 1 2 3 4 C D 9 A B 由分步乘法计数原理知，不同的填法共有C4·C2＝6(种)． 15．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数． (1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数； (2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； (3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 解 (1)将组成的三位数中所有偶数分为两类， ①若个位数为0，则共有A4＝12(个)； ②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)． 5 2 22 故共有30个符合题意的三位数． (2)将这些“凹数”分为三类： ①若十位上的数字为0，则共有A4＝12(个)； ②若十位上的数字为1，则共有A3＝6(个)； ③若十位上的数字为2，则共有A2＝2(个)． 故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”． (3)将符合题意的五位数分为三类： ①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有A2A3＝12(个)； ②若两个奇数数字在千位上和十位上，则共有A2A2A2＝8(个)； 12 ③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有A2故共有12＋8＋8＝28(个)符合题2A2A2＝8(个)．意的五位数． 2 2 2 23 212 6
（新人教版）最新版高中数学 第一章 计数原理滚动训练一 新人教A版选修2-3[经典练习]
