【高中数学】数学《数列》复习知识要点
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a2?a4?36，则数列{an}的前5项之和S5的值为（ ） A．108 【答案】B 【解析】
由于a1?a5?a2?a4?36，所以S5?B．90
C．72
D．24
5(a1?a5)5?36??90，应选答案A． 22点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质a1?a5?a2?a4?36，然后整体代换前5项和中的a1?a5=36，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．
2．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤?15斤，1斤?16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ） A．9两 【答案】B 【解析】 【分析】
先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a两，由题意可知7人的分银量构成首项为
B．
266两 127C．
266两 63D．
250两 127a，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a的值.
【详解】
共有银16?16?10?266两，
设分银最少的为a两，则7人的分银量构成首项为a，公比为2的等比数列， 故有
a?1?27?1?2故选：B． 【点睛】
?266，所以a?266， 127本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．
3．已知公比为q的等比数列?an?的首项a1?0，则“q?1”是“a5?a3”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
2根据等比数列的性质可得a5?0,a3?0，若a5?a3，可得q?1，然后再根据充分条件和
必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】
由于公比为q的等比数列?an?的首项a1?0， 所以a5?0,a3?0，
22若a5?a3，则a3q?a3，所以q?1，即q?1或q??1，
所以公比为q的等比数列?an?的首项a1?0， 则“q?1”是“a5?a3”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
4．已知数列?an?是正项等比数列，若a1?32，a3?a4?32，数列?log2an?的前n项和为Sn，则Sn>0时n的最大值为 （ ） A．5 【答案】C 【解析】
B．6
C．10
D．11
a3?a4?a12q5?322q5?32?q?Sn?1?an?32?21?n?26?n?log2an?6?n? 2n(5?6?n)?0?n?11?nmax?10 ，故选C. 2
5．函数f?x?对任意正整数a,b满足条件f?a?b??f?a??f?b?，且f?1??2，
f(2)f(4)f(6)f(2018)???L?f(1)f(3)f(5)f(2017)A．1008 【答案】D 【解析】 【分析】
B．1009
的值是（ ）
C．2016
D．2018
由题意结合f?a?b??f?a??f?b?求解【详解】
f?2?f?1??f?4?f?3??f?6?f?5??L?f?2018?f?2017? 的值即可.
在等式f?a?b??f?a??f?b?中，令b?1可得：f?a?1??f?a?f?1??2f?a?， 则
f?a?1?f?a???2，据此可知： ?f?6?f?5??L?f?2018?f?2017? ?2?2?2?L?2?2?1009?2018.
f?2?f?1?f?4?f?3?本题选择D选项. 【点睛】
本题主要考查抽象函数的性质，函数的求值方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
x2y26．已知椭圆??1满足条件：m,n,m?n成等差数列，则椭圆离心率为( )
mnA．3 2B．2 2C．
1 2D．5 5【答案】B 【解析】 【分析】
22xy根据满足条件m,n,m?n成等差数列可得椭圆为??1,求出a,c．再求椭圆的离心
m2m率即可. 【详解】
2n?m??m?n??n?2m,
22xy?椭圆为??1, m2m
c2?2m?m?m,得c?m,又a?2m,
?e?c2. ?a22，故选B. 2则椭圆离心率为【点睛】
一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c，从而求出e;②构造a,c的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2?a6?a11?a20?3，则S21的值为（ ） A．63 【答案】C
B．21
C．?63
D．21
【解析】 【分析】
根据等差数列性质，原式可变为?a2?a20??(a6?a16)?a11?3，即可求得
S21?21a11??63.
【详解】
∵a2?a6?a11?a16?a20?3， ∴?a2?a20??(a6?a16)?a11?3， ∴a11??3，∴S21?21a11??63， 故选：C． 【点睛】
此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.
8．已知等比数列{an}，an＞0，a1=256，S3=448，Tn为数列{an}的前n项乘积，则当Tn取得最大值时，n=（ ） A．8 【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{an}的公比为q，由an＞0，可得q＞0．根据a1＝256，S3＝448，可得256（1+q+q2）＝448，解得q．可得an，Tn，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】
设等比数列{an}的公比为q，∵an＞0，∴q＞0． ∵a1＝256，S3＝448， ∴256（1+q+q2）＝448， 解得q?B．9
C．8或9
D．8.5
1． 212n?1∴an＝256?()8
7
?29﹣n．
＝2
8+7+…+9﹣n
n?8?9?n?2289??17?[?n?)2??24??2Tn＝2?2?……?2
9﹣n
?2?2．
∴当n＝8或9时，Tn取得最大值时， 故选C． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间
一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
lg3?0.4771，lg2?0.3010）
A．16 【答案】D 【解析】 【分析】
nnB．17 C．24 D．25
?4??4?由折线长度变化规律可知“n次构造”后的折线长度为??a，由此得到???1000，利?3??3?用运算法则可知n?【详解】
记初始线段长度为a，则“一次构造”后的折线长度为
23，由此计算得到结果.
2?lg2?lg34a，“二次构造”后的折线长度为3n?4?，以此类推，“n次构造”后的折线长度为?4?，??a??a ?3??3??4??4?若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则??a?1000a，即???1000，
?3??3?4?4??lg???nlg?n?lg4?lg3??n?2lg2?lg3??lg1000?3，
3?3?3?24.02，?至少需要25次构造.
2?0.3010?0.4771故选：D. 【点睛】
即n?本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
nnn
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an+a(n∈N*，a为常数)，若平面内的三个不共
uuuruuuruuuruuuruuuruuur线的非零向量OAOB，，OC满足OC?a1005OA?a1006OB，A，B，C三点共线且该直线不过
O点，则S2010等于（ ） A．1005 【答案】A
B．1006
C．2010
D．2012
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》经典测试题含答案
