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第2章数列
[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]等差(比)数列的基本运算【例1】等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.[解](1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q，解得q＝2，∴an＝2×23
n－1
＝2.n(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.-1-精品文档，名师推荐！
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设{bn}的公差为d，则有b1＋2d＝8，b1＋4d＝32，解得b1＝－16，d＝12，所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝n（－16＋12n－28）＝6n2－22n.2在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用．[跟进训练]1．已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值范围．[解]2
(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a1＝1×(a1＋2)，2
即a1－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，所以5a1＋10>a1＋8a1，即a1＋3a1－10<0，解得－5 2 求数列的通项公式【例2】(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an；1(2)数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝Sn，求an.3思路探究：(1)已知Sn求an时，应分n＝1与n≥2讨论；(2)在已知式中既有Sn又有an时，应转化为Sn或an形式求解．[解](1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2－(3＋2nn－1 )＝2n－1 ，-2-精品文档，名师推荐！ ———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升——————— 当n＝1时，a1＝S1＝5不适合上式．∴an＝5，n＝1，2n－1 ，n≥2.①②(2)∵Sn＝3an＋1，∴n≥2时，Sn－1＝3an.①－②得Sn－Sn－1＝3an＋1－3an，∴3an＋1＝4an，an＋14111∴＝，又a2＝S1＝a1＝.an33334n－21∴n≥2时，an＝·3，不适合n＝1.31，n＝1，4n－2∴an＝1·3，n≥2.3数列通项公式的求法(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目．(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝S1，n＝1，求解．Sn－Sn－1，n≥2(3)累加或累乘法形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如an＝f(n)(n≥2)的an－1 递推式，可用累乘法求通项公式．[跟进训练]2．设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求{an}的通项公式．[解]∵an＋1－an＋an＋1·an＝0，-3-精品文档，名师推荐！ ———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升——————— 11∴－＝1.an＋1an11又＝1，∴an是首项为1，公差为1的等差数列．a11故＝n.an1∴an＝.n等差(比)数列的判定【例3】数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N).* (1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；an(2)设cn＝n－2，求证：{cn}是等差数列．2思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明．[证明](1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.bn＋1an＋2－2an＋14an＋1－4an－2an＋12an＋1－4an＝＝＝＝2.bnan＋1－2anan＋1－2anan＋1－2an因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知bn＝3·2所以n－1 ＝an＋1－2an，an＋1an－n－2＝3.n－122a1 所以cn＋1－cn＝3，且c1＝－1＝2，2所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.等差数列、等比数列的判断方法an＋1 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)?{an}是等差数列；＝q(q为常数，q≠0)?{an}是等比an-4-精品文档，名师推荐！ ———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升——————— 数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差数列；an＋1＝an·an＋2(an≠0)?{an}是等比数列．(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)?{an}是等差数列；an＝c·q(c，q为非零常数)?{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，n2 q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是等比数列．特别提醒：①前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定．②若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可．[跟进训练]3．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.求证：数列{cn}是等比数列．[证明]当n＝1时，a1＝S1.由an＋Sn＝n，①1得a1＋S1＝1，即2a1＝1，解得a1＝.2又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②②－①得an＋1－an＋(Sn＋1－Sn)＝1，即2an＋1－an＝1，③因为cn＝an－1，所以an＝cn＋1，an＋1＝cn＋1＋1，代入③式，得2(cn＋1＋1)－(cn＋1)＝1，整理得2cn＋1＝cn，cn＋11故＝(常数).cn211所以数列{cn}是一个首项c1＝a1－1＝－，公比为的等比数列．22数列求和[探究问题]1．若数列{cn}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，且an＝cn＋bn，如何求数列{an}的前n项和？[提示]数列{an}的前n项和等于数列{cn}和{bn}的前n项和的和．-5-
2020_2021学年高中数学第2章数列章末综合提升学案新人教A版必修
