2024年
【2024最新】精选高考数学二轮复习难点2-8立体几何中的折叠问题最值
问题和探索性问题测试卷理
（一）选择题（12*5=60分）
1．在等腰梯形中，,,为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
ABCDAB=2DC=2?DAB=60?EAB?ADE?BECEDECABPP?DCE
A． B． C. D．【答案】C
43666???? 2728242．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（ ）
2ABCDACB?AC?DABCD
A．1 B． C. D．22?32?12?3 【答案】D
【解析】设球心为，球的半径为，由，知，故选D.ORVD?ABC?VO?ABC?VO?ADC?VO?BCD?VO?ABDr?2?3 3．【湖南省××市2024届质量检测】已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）ABC?A1B1C1AA1,BB1,CC1M,N,Q?MNQ A. B. 3 C. D. 42223 【答案】C
【解析】建立直角坐标系如下：点M在侧棱上，设M，点N在上，设，点在上，设，
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则 因为为直角三角形，所以，斜边 ，当时取等号.故答案为.故选C.
AA1?0,?1,a?BB1N?uuuuv3,0,bQCC1Q?0,1,c?MN???uuuv3,1,b?a,QN???3,?1,b?c?MNQ?uuuuvuuuvMN?QN?0??b?a??b?c??2?0MQ?4??a?c??4????a?b???b?c????4?4?a?b??b?c??4?4?2?23a?b?b?c23 224．已知，如图，在矩形中，分别为边、边上一点，且，现将矩形沿折起，使得，连接，则所得三棱柱的侧面积比原矩形的面积大约多（ ）
5?2.236ABCDAD?5,AB?3,E、FABCDAE?DF?1ABCDEF平面ADEF?平面BCFEAB、CDABE?DCFABCD
A.68% B.70% C.72% D.75% 【答案】D
5．【河南省××市2024届第四次模拟】已知三棱锥中， ， ，点在底面上的射影为的中点，若该三棱锥的体积为，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为（ ）P?ABCAB?BCAB?BCP?ABCACA. 2 B. C. D. 33323 【答案】D
6．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为120°，此时点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）23ABCD?A?600BDA?BD?CA,B,C,D
A． B． C． D．20?24?28?32?
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【答案】C
【解析】如图分别取的中点,连,则容易算得,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,,则由题设可得,解之得,则,所以球面面积,故应选C．BD,ACM,NMNAM?CM?3,MN?333,MD?3,CN?MNORHN?x2227?22R?x??1127?4x?R2???7S?4?R2?28? ?244?R2?(3?x)2?3?2?7．【福建省南安2024届第二次阶段考试】如图所示，长方体中，AB=AD=1,AA1=面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（ ）
ABCD?A1B1C1D12B1D1PA1P?PBA1P?PB
2?62?22 2A. B. C. D. 5【答案】A
8．如图，边长为的等边三角形的中线与中位线交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（ ）aABCAFDEG?A?DE?ADEDE ①；②平面；③三棱锥的体积有最大值．FA??DEBC//A?DEA??FED
A．① B．①② C．①②③ D．②③ 【答案】C
【解析】①中由已知可得面，∴．②，根据线面平行的判定定理可得平面．③当面
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面时，三棱锥的体积达到最大．故选
C．DE?A?FAFA??DEBC//DEBC//A?DEA?DE?ABCA??FDE
9．【河南省××市2024届8月调研】如图，已知矩形中， ，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（ ）
4BC?8ACABC?ADCBDB?ACD 3500?250?1000?500?A. B. C. D.
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ABCDAB?【答案】D
10.一块边长为的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）6cm
A． B． C. D．126cm346cm3272cm392cm3 【答案】B
11．【河南省师范大学附中2024届8月】把边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（ ）
ABCDBDABD?CBDC?ABD
A. B. C. D. 【答案】D
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2244【解析】∵C在平面ABD上的射影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中， ，
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所以：左视图的面积等于 AO?CO?AC?12211221S?AOC?CO·AO???? 22222412．【湖北省××市2024届调研联考】设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（ ）MABCD?A1B1C1D1ADPBCC1B1D1PMABCDBCC1B1PC1 A. B. C. 1 D. 【答案】A
25526 23（二）填空题（4*5=20分）
13.如图，，平面，交于，交于，且，则三棱锥体积的最大值
为 ．?ACB?90?DA?ABCAE?DBDBEAF?DCDCFAD?AB?2D?AEF 【答案】
2 6【解析】因为平面，所以,又，,又因为,所以平面,所以平面平面,，平面平面,所以平面,所以,所以平面,由可得，所以,所以三棱锥体积的最大值
为.DA?ABCDA?AB,AD?BC,QAE?DBAD?AB?2?DE?2BC?AC,ACIAD?ABC?ACDBCD?ACDQAF?DCBCDIACD?CDAF?BCDAF?EF,BD?EFBD?AEFAF2?EF2?AE2?2?2AF?EFAF?EF?1S?AEF?
1121 D?AEF?2??3262
2024高考数学二轮复习难点2-8立体几何中的折叠问题最值问题和探索性问题测试卷理
