7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
一、选择题
1．已知i是虚数单位，则复数z＝(4＋i)＋(－3－2i)的虚部是( ) A．1 B.2 C．－1 D．－i
解析：z＝(4＋i)＋(－3－2i)＝(4－3)＋(1－2)i＝1－i. 故复数z的虚部为－1. 答案：C
2．已知复数z1＝7－6i，z2＝4－7i，则z1－z2＝( ) A．3＋i B．3－i C．11－13i D．3－13i
解析：z1－z2＝(7－6i)－(4－7i)＝(7－4)＋[－6－(－7)]i＝3＋i. 答案：A
3．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．
答案：B
→→
4．非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量OA，OB，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则( ) →→→→A.OA＝OB B．|OA|＝|OB| →→→→
C.OA⊥OB D.OA，OB共线 解析：如图，
→→→→→→
由向量的加法及减法法则可知，OC＝OA＋OB，BA＝OA－OB.由复数加法及减法的几何意→→
义可知，|z1＋z2|对应OC的模，|z1－z2|对应BA的模，又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB→→
是矩形，则OA⊥OB.
答案：C 二、填空题
5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a＝________，
b＝________.
解析：z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i，
z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i，
由已知得b＋4＝0，a＋3＝0，∴a＝－3，b＝－4. 答案：－3 －4
6．已知z1＝m－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋6)i(m∈R)．若z1－z2＝0，则m＝________. 解析：z1－z2＝m－3m＋mi－[4＋(5m＋6)i] ＝m－3m－4＋(m－5m－6)i.
??m－3m－4＝0，∵z1－z2＝0，∴?2
??m－5m－6＝0，
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解得m＝－1. 答案：－1
7．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，这个正方形的第四个顶点对应的复数是________．
解析：设复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点分别是A，
B，C，则A(1,2)，B(－2,1)，C(－1，－2)．
设正方形第四个顶点对应的坐标是D(x，y)， 则其对应的复数为x＋yi， ∵四边形ABCD为正方形， →→
∴AD＝BC，
∴(x－1，y－2)＝(1，－3)， ∴x－1＝1，y－2＝－3， 解得x＝2，y＝－1.
故这个正方形的第四个顶点对应的复数是2－i. 答案：2－i 三、解答题 8．计算
?1??1?(1)?2－i?＋?－2i?； ?2??2?
(2)(3＋2i)＋(3－2)i； (3)(1＋2i)＋(i＋i)＋|3＋4i|；
2
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
?1??1?55
解析：(1)原式＝?2＋?－?＋2?i＝－i.
?2??2?22
(2)原式＝3＋(2＋3－2)i＝3＋3i.
(3)原式＝(1＋2i)＋(i－1)＋3＋4＝(1－1＋5)＋(2＋1)i ＝5＋3i.
(4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.
9．在复平面内，A，B，C三点对应的复数1,2＋i，－1＋2i.D为BC的中点． →
(1)求向量AD对应的复数； (2)求△ABC的面积．
解析：(1)由条件知在复平面内B(2,1)，C(－1,2)． 13?13?则D?，?，点D对应的复数是＋i， 22?22?→→→?13??13?AD＝OD－OA＝?，?－(1,0)＝?－，?，
?22??22?→13
∴AD对应复数为－＋i
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→→→→
(2)AB＝OB－OA＝(1,1)，|AB|＝2， →→→→
AC＝OC－OA＝(－2,2)，|AC|＝8＝22， →→→→
BC＝OC－OB＝(－3,1)，|BC|＝10， →2→2→2
∴|BC|＝|AC|＋|AB|， ∴△ABC为直角三角形．
→11→
∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝×2×22＝2.
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[尖子生题库]
10．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. 解析：方法一 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知a＋b＝1，c＋d＝1，(a＋c)＋(b＋d)＝2. 又由(a＋c)＋(b＋d)＝a＋2ac＋c＋b＋2bd＋d， 可得2ac＋2bd＝0.
∴|z1－z2|＝(a－c)＋(b－d)＝a＋c＋b＋d－(2ac＋2bd)＝2，
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∴|z1－z2|＝2.
方法二 ∵|z1＋z2|＋|z1－z2|＝2(|z1|＋|z2|)， 将已知数值代入，可得|z1－z2|＝2， ∴|z1－z2|＝2.
→→
方法三 在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2， ∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，
∴OZ1，OZ2不共线(若OZ1，OZ2共线，则|z1＋z2|＝2或0)．
→→以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2(图略)，则由|z1|＝|z2|可知四边形OZ1ZZ2为菱形． 又|z1|＋|z2|＝|z1＋z2|，∴∠Z1OZ2＝90°， 即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝2.
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2019-2020学年新教材高中数学 第七章 复数 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义课时作业
