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(5)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则
P?max?X,Y??1??_______.
(6) 设总体X的概率密度为f?x??1?xe????x????,X1,X2,?,Xn为总体X22的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES?____.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7) 设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则（）
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 . (8) 设函数f?x?在x?0处连续，且limh?0f?h2?h2?1，则（）
(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在 (C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 (9) 若级数
?an?1?n收敛，则级数（）
(A)
?an?1??n收敛 . （B）
?(?1)n?1?nan收敛.
(C)
?anan?1收敛. (D)
n?1an?an?1收敛. ?2n?1?(10) 设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解是（）
(A) C?y1(x)?y2(x)?. (B) y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?. (C) C?y1(x)?y2(x)?. (D) y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? (11) 设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在生命不息 - 31 - 奋斗不
止
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约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（）
(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (12) 设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是（） (A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.
(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关.
(13) 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到
?110???第2列得C，记P??010?，则（）
?001???(A) C?P?1AP. (B) C?PAP?1.
(C) C?PTAP. (D) C?PAPT.
2(14) 设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，随机变量Y服从正态分布N(?2,?2)，
且
P?X??1?1??P?Y??2?1?
则必有（）
(A) ?1??2 (B) ?1??2 (C) ?1??2 (D) ?1??2
三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
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设f?x,y??yy?,x?0,y?0，求： 1?xyarctanxy???1?ysin?x(Ⅰ)g?x??limf?x,y?；
g?x?。 (Ⅱ)lim?x?0（16）（本题满分7分） 计算二重积分域。
（17）（本题满分10分） 证明：当0?a?b??时，
??Dy2?xydxdy，其中D是由直线y?x,y?1,x?0所围成的平面区
bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a
（18）（本题满分8分）
在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M?1,0?，其上任意点P?x,y??x?0?处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）。
（Ⅰ）求L的方程；
（Ⅱ）当L与直线y?ax所围成平面图形的面积为（19）（本题满分10分）
8时，确定a的值。 3??1?x2n?1 求幂级数?的收敛域及和函数s(x)。
n2n?1??n?1?n?1（20）（本题满分13分）
设4维向量组?1??1?a,1,1,1?,?2??2,2?a,2,2?,?3??3,3,3?a,3?,?4?
TTT?4,4,4,4?a?T问a为何值时?1,?2,?3,?4线性相关？当?1,?2,?3,?4线性相关时，求其一
个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。
（21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解。
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；
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止
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（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QAQ??；
T3??（Ⅲ）求A及?A?E?，其中E为3阶单位矩阵。
2??（22）（本题满分13分） 设随机变量X的概率密度为
6?1?2,?1?x?0??1fX?x???,0?x?2，
?4?0, 其他??令Y?X,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
2（Ⅰ）求Y的概率密度fY?y?； （Ⅱ）Cov(X,Y)；
（Ⅲ）F???1?,4?。 ?2?（23）（本题满分13分） 设总体X的概率密度为
0?x?1,??,?f?x;????1??,1?x?2,
?0,其他,?其中?是未知参数?0???1?，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数。
（Ⅰ）求?的矩估计； （Ⅱ）求?的最大似然估计。
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2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) 极限limxsinx??2x?______. 2x?1(2) 微分方程xy??y?0满足初始条件y?1??2的特解为______. (3) 设二元函数z?xex?y??x?1?ln?1?y?，则dz?1,0??______.
(4) 设行向量组?2,1,1,1?,?2,1,a,a?,?3,2,1,a?,?4,3,2,1?线性相关，且a?1，则
a?______.
(5) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,?,X中任取一个数，记为Y，则
P?Y?2??______.
(6) 设二维随机变量?X,Y?的概率分布为
生命不息 - 35 - 奋斗不止
历年考研数学三真题及答案解析(2004-2012)
