中考数学金牌名师 九年级第一学期 知识改变命运，学习成就未来！ 自信激发潜能，勤奋铸就成功！
练 存 华
模型思维解题法课程讲义
第九讲：二次函数十大基本问题
知识模块与方法
知识模块一：二次函数的定义问题
1．二次函数的概念：一般地，形如
y ax2 bx c（ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做
二次函数。 这里需要强调： 和一元二次方程类似， 二次项系数 a 0 ，而 b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数 y ax2 bx c 的结构特征：
（ 1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2． （ 2） a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．
知识、题型、方法
2
例 1：若 y 变式练习：
3 m 2 m (m 3)是二次函数，则 m
x。
2
2
9m 19
已知 y (2
二次函数？
m
7m 9)
x
m
，试讨论 m 分别为何值时为正比例函数、反比例函数、
课堂演练一 ：
2
1. 二次函数 y
常数项是
2 (x
3)
。
6 的二次项系数是
，一次项系数是
，
2. 若 y＝ (m＋ 1)x
m2m
－ 3x ＋ 1 是二次函数，则 m 的值为 __________．
3. 已知函数 y
x
2
1
，则自变量 x 的取值范围是
。
x
矩形的一边长为
3x 4
2
4. 某广告公司欲设计一幅周长为
12 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米
1000 米，设
x 米，所花费用为 y 元。则 y 与 x 之间的函数关系式为
。
5. 已知函数 y
(2m 1)
x
3m 2 ，当 m 为何值时：
y 随着 x 增大而增大。
（ 1） y 是 x 的正比例函数，且
（ 2）函数图象是位于第二、四象限的双曲线。 （ 3）函数图象是开口向上的抛物线。
1
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自信激发潜能，勤奋铸就成功！
知识模块二：二次函数的图象及其性质
1. 二次函数基本形式：
y ax2 的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 。
a 的符号 a
开口方向
顶点坐标
0 ，0
对称轴 性质
x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随
0
向上 y 轴
x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 0 ．
0 ，0
a
0
向下
y 轴
x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随
x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 0 ．
2. y ax2 c 的性质：
上加下减。
a 的符号
开口方向 向上
顶点坐标 0 ，c
对称轴
性质
x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随
a
0
y 轴
x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 c ． x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x
0 时， y 随
a
0
向下
0 ，c
y 轴
x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 c ．
3. y a x h 的性质：
2
左加右减。
a 的符号
开口方向 向上
顶点坐标 h，0
对称轴 X=h
性质
x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随
a
0
x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 ． x h 时， y 随 x 的增大而减小； x
h 时， y 随
a
0
向下
h，0
X=h
x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ．
2
4. y a x h k 的性质：
开口方向
a 的符号 顶点坐标 h，k
对称轴 X=h
性质
x h 时， y 随 x 的增大而增大； x
向上
h 时， y 随
a
0
x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ． x h 时， y 随 x 的增大而减小； x
h 时， y 随
a
0
向下
h，k
X=h
x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．
2
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二次函数图象的过点问题与交点问题
中考方法点拨 ：二次函数图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、
代入求值问题
的综合，只要紧紧抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满足函数解析式，然后代入解析式可得方程（组） ，从而求解。
知识、题型、方法
2
例 2：已知抛物线
y x 和直线
（ 1）求 m ， n 的值。
y 3x m
都经过点（
2 n
，
）。
（ 2）是否存在另一个交点？若存在，请求出。
变式练习：
1．（ 2008，长春）已知，如图，直线
第一象限内相交于点
O
y
l 经过 A( 4,0) 和 B(0,4) 两点，它与抛物线 y AOP 的面积为 4，求 a 的值。y
ax 2 在
P，又知
B
P
B
A
x
OA
x
第 1 题图
2．（ 2008，辽宁大连）如图
第 2 题图
10，直线 y x m 和抛物线 y
x 2 bx c 都经过点 A(1，
0)， B(3， 2)．
（ 1）求 m 的值和抛物线的解析式； （ 2）求不等式 x 2 bx c
x m 的解集 (直接写出答案 )。
课堂演练二 ：
y
1．二次函数
a x
2
2 的图象经过两点 A（
4， 2 ）， B（ m ， 2 ），则 m
。
y
2 a x
x c 与 轴的交点坐标是（
， 0）则
2．若抛物线
x
1
a c
已知函数
。
2
3.
y a x
(a
0)
的图象与直线
y 2 x
3交于点（ 1， ），
b
则求 a
。
3
(完整word版)二次函数十大基本问题.docx
