【课时训练】第22节 解三角形的综合应用
一、选择题
1．(2019福州质检)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A．30° C．60° 【答案】B
【解析】依题意可得AD＝2010，AC＝305， 又CD＝50，所以在△ACD中，
AC2＋AD2－CD2由余弦定理，得cos∠CAD＝ 2AC·AD＝?305?2＋?2010?2－502
2×305×2010
6 0002
＝＝. 6 00022
B．45° D．75°
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°. 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
2．(2018陕西渭南质检)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：3≈1.732)( )
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A．11.4 km C．6.5 km 【答案】B
B．6.6 km D．5.6 km
150
【解析】∵AB＝1 000×60＝3(km)， AB50
∴BC＝sin 45°·sin 30°＝(km)．
3 2∴航线到山顶的距离h＝30°)≈11.4(km)．
∴山高为18－11.4＝6.6(km)．
503
2
×sin 75°＝
503
2
×sin(45°＋
3．(2018四川资阳模拟)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为( )
msin αA.sin β msin βC. sin?α＋β?【答案】C
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msin αB．
sin?α＋β?msin?α＋β?D． sin α＋sin β
【解析】在△ABC中，∠ABC＝π－(α＋β)，AC＝m，由正弦定理，ABACmsin βmsinβ得sin β＝，所以AB＝＝.
sin∠ABCsin[π－?α＋β?]sin?α＋β?
4．(2018辽宁庄河高中月考)若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km C．2a km 【答案】D
【解析】由题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°.在△ABC中，由余弦定理知AB＝
?1?
a＋a－2×a×a×?－2?＝3a(km)，即灯塔A
??
2
2
B．2a km D．3a km
与灯塔B的距离为3a km.
5．(2018江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )
?3?
?A．201＋?m
3??
B．20(1＋3)m D．20(2＋6)m
C．10(2＋6)m
【答案】B
【解析】如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE
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＝20 m，CE＝20 3m.所以CD＝20(1＋3)m.故选B.
6．(2018武汉武昌区调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )
A．14 h C．16 h 【答案】B
B．15 h D．17 h
【解析】记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，2根据余弦定理得OB＝600＋400t－2×20t×600×2，令OB2≤4502，
2
2
2
即4t－120
2
30
2t＋1 575≤0，解得
2－1530
≤t≤230
2＋1530
－2
2＋15
，所2
2－15＝2
以该码头将受到热带风暴影响的时间为15(h)．故选B.
7．(2018厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围是( )
π??
??0，A.2? ?
?ππ?C.?6，3? ??
?ππ?
B．?4，2?
???ππ?D．?3，2?
??
【答案】D
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【解析】由题意得sin2A＜sin2B＋sin 2C，再由正弦定理得a2＜b2
b2＋c2－a2
＋c2，即b2＋c2－a2＞0.则cos A＝2bc＞0，因为0＜A＜π，所
?ππ?ππ
以0＜A＜2.又a为最大边，所以A＞3.因此角A的取值范围是?3，2?.
??
故选D.
二、填空题
8．(2018贵阳模拟)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．
【答案】507
【解析】如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.
由余弦定理，得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507.
9．(2018河南三门峡一模)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
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高考数学(理)一轮复习课时训练：第4章 三角函数、解三角形 22 Word版含解析
