第3讲 平面向量
高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.
真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A.4
B.3
2
C.2 D.0
解析 a·(2a－b)＝2a－a·b＝2－(－1)＝3，故选B. 答案 B
π
2.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，
3向量b满足b－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( ) A.3－1
B.3＋1
C.2
D.2－3
2
→→2
解析 法一 设O为坐标原点，a＝OA，b＝OB＝(x，y)，e＝(1，0)，由b－4e·b＋3＝0得x＋y－4x＋3＝0，即(x－2)＋y＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)π
为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线
3
2
2
2
2
y＝3x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|CA|－|CB|＝3－1.
故选A.
法二 由b－4e·b＋3＝0得b－4e·b＋3e＝(b－e)·(b－3e)＝0. →→→→→→→
设b＝OB，e＝OE，3e＝OF，所以b－e＝EB，b－3e＝FB，所以EB·FB＝0，→
取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图，设a＝OA，π
作射线OA，使得∠AOE＝，所以
3
→→
|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|CA|－|BC|≥3－1. 故选A. 答案 A
→→→→→
3.(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，→→
且AD·AE＝－4，则λ的值为________.
1
2
2
2
→→
→→→1→2→→→?1→2→?→→
解析 AB·AC＝3×2×cos 60°＝3，AD＝AB＋AC，则AD·AE＝?AB＋AC?·(λAC－AB)
3?33?3λ－2→→1→22λ→2λ－2122λ1132
＝AB·AC－AB＋AC＝×3－×3＋×2＝λ－5＝－4，解得λ＝. 333333311答案
3
11
4.(2016·浙江卷)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________. 解析 法一 由已知可得：
6≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|， 由于上式对任意单位向量e都成立. ∴6≥|a＋b|成立.
∴6≥(a＋b)＝a＋b＋2a·b＝1＋2＋2a·b， 1
即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.
2
法二 由题意，令e＝(1，0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤6可得|cos α|＋2|cos β|
≤6 ①.令sin α＋2sin β＝m ②，①＋②得4(|cos α cos β|＋sin αsin β)≤1＋m对一切实数α，β恒成立，所以4(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤1. 1故a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤.
21答案
2
考 点 整 合
1.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b(2)a⊥b2
2
2
2
2
2
2
2
a＝λbx1y2－x2y1＝0. a·b＝
x1x2＋y1y2＝0.
3.平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
22 2
则|AB|＝（x2－x1）＋（y2－y1）.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
22
a·bx1x2＋y1y2
则cos θ＝＝2222.
|a||b|x1＋y1x2＋y2
4.平面向量的三个锦囊
→→
(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是OP＝λ1OA＋→
λ2OB(其中λ1＋λ2＝1).
→→→→
(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量OP与向量OA，OB的关系是OP1→→＝(OA＋OB). 2
→→→
(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心GA＋GB＋GC＝0
G?
?xA＋xB＋xC，yA＋yB＋yC? ?33??
热点一 平面向量的有关运算 [考法1] 平面向量的线性运算
→
【例1－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( ) 3→1→A.AB－AC 443→1→C.AB＋AC 44
1→3→
B.AB－AC 441→3→D.AB＋AC 44
(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC→→
＝λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为________.
→→→1→1→1
解析 (1)法一 如图所示，EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×
2221→→1→→3→1→
(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC，故选A. 2244
3→1→→→→→1→→11→→
法二 EB＝AB－AE＝AB－AD＝AB－×(AB＋AC)＝AB－AC，故选A.
22244→→→→1→→→→→1→→1→
(2)法一 如图，AE＝AB＋BE＝AB＋BC，AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝BC＋AB，
3λλ→→
所以AE·AF
3
1?→1→??→1→??＝?AB＋BC?·?BC＋AB?＝?1＋
3??λ??3λ?
44
＋＝1，解得λ＝2. λ3
1→→1→21→2??AB1＋·BC＋AB＋BC＝??3λ
λ3??
?×2×2×cos 120°＋
??
法二 建立如图所示平面直角坐标系. 由题意知：
A(0，1)，C(0，－1)，B(－3，0)， D(3，0).
由BC＝3BE，DC＝λDF，
1??23
可求点E，F的坐标分别为E?－，－?，
3??31?1???1－F?3?λ?，－?，
λ????
1?14???→→?23?∴AE·AF＝?－，－?·?3?1－λ?，－－1?
λ?3?????31?4?1??＝－2?1－?＋?1＋?＝1，解得λ＝2.
?λ?3?λ?答案 (1)A (2)2
探究提高 用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.
[考法2] 平面向量的坐标运算
【例1－2】 (1)(2018·北京卷)设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________.
3?→?31?→?1
(2)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝( )
?22??22?A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
解析 (1)由题意得，ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.
→→
BA·BC3→→
(2)|BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝，
→→2|BA|·|BC|则∠ABC＝30°. 答案 (1)－1 (2)A
探究提高 若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.
4
[考法3] 平面向量数量积的运算 【例1－3】 (1)(2017·浙江卷)
如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交
→→→→→→
于点O，记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则( )
A.I1＜I2＜I3 C.I3＜I1＜I2
B.I1＜I3＜I2 D.I2＜I1＜I3
→→
(2)(2018·北京昌平区调研)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB→→
的值为________；DE·DC的最大值为________.
解析 (1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO 根据题意，I1－I2＝OA·OB－OB·OC＝OB·(OA－OC)＝OB·CA＝|OB||CA|·cos∠AOB<0，∴I1 ∴|OA||OB|<|OC||OD|， →→→→ 而cos∠AOB＝cos∠COD<0，∴OA·OB>OC·OD， 即I1>I3.∴I3 (2)法一 如图，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)， B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t∈[0，1]，则DE＝(t，－1)， → → CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1. →→→ 因为DC＝(1，0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1， →→ 故DE·DC的最大值为1. →→ 法二 如图，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，所以 →→ →→→ DE·CB＝|CB|·1＝1. →→ 当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大，即为DC＝1， →→→ 所以(DE·DC)max＝|DC|·1＝1. 答案 (1)C (2)1 1 探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a|＝a求向量的模时，一定要把求出的a进行开方. 5 2 2
2019高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量学案
