概率论与数理统计第14讲（夜大）
切比雪夫不等式
定理：设随机变量X具有数学期望EX??，方差DX??，则对于任意正数??0，
2?2DX不等式P?X??????2，或写为P?X?EX????2。
?? 证明：我们只就连续型随机变量的情况来证明。设X的概率密度为f?x?，则有
P?X??????x?f?x?dx???????x?x?????2f?x?dx?1?2??x??????2?2f?x?dx?2
?切比雪夫不等式也可以写成如下形式
?2 P?X??????1?2 （画出图形）
? 这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的条件下事件X????概率的下限的估计。例如，如果取??3?,4?得到
???2 P?X???3???1??0.8889
9?2?2P?X???4???1??0.9375 216?当然，如果X服从正态分布，则有PX???3??0.9974（3?法则）。 柯西—施瓦兹不等式
设X，Y是两个随机变量，E?X?,E?Y?存在，则有[E?XY?]?E?X?E?Y?
22222?? 证明：考虑实变量t的函数
g?t??E?X?tY??EX?2tE?XY??tEY?0
2222??对任意t都成立，所以判别式
???2E?XY???4EXEY?0
222即有[E?XY?]?E?X?E?Y?。
222 例1 设X1,?,Xn是n个相互独立同分布的随机变量，EXi??,DXi?8，
i?1,?,n，对于X??i?1n1Xi，求PX???4的概率。 n1
??
解： E(X)?E(n?nXi?1n1i)?1?n??? n D(X)?D(n118 X)??nDX??ii2nnni?1于是X?1Xi所满足的切比雪夫不等式为 ?i?1n PX???????DX?2?8n?2
所以 PX???4?1???DX181 ?1???1?216n2n4 例2 在每次试验中，事件A发生的概率为0.75，利用切比雪夫不等式估计：在1000
次独立实验中，事件A发生次数在650—850之间的概率。
解：由于切比雪夫不等式中涉及到随机变量的期望、方差及任意正数，所以利用该不等式估计事件的一般步骤是：
（1）选择随机变量X，设X表示在1000次独立试验中事件A发生的次数。问题转化为估计X在650—850之间的概率。
（2）求X的期望和方差。由于X~B?1000,0.75?，所以 EX?np?1000?0.75?750
DX?np?1?p??187.5
（3）需要确定?，这里?并没有直接给出。要估计?650?X?850?的概率，首先将其改为
?650?X?850???650?EX?X?EX?850?EX????100?X?750?100???X?750?100?
于是在切比雪夫不等式中取??100。得到 P?650?X?850??PX?750?100?1?
解这类问题常常要通过恒等式变形把已给事件?a?X?b?化成符合切比雪夫不等式所要求的形式X?EX??，从而定出?，然后用切比雪夫不等式估计它的概率。 利用切比雪夫不等式作简单估计的另一类问题是：已知事件X?EX??的概率至少为p，求?。
??DX?2?1?187.5?0.98125
10000???? 2
第三节 协方差及相关系数
对于二维随机变量?X,Y?，我们除了要讨论X与Y的数学期望和方差以外，还需要讨论描述X与Y之间的相互关系的数字特征。在前面讨论方差的性质中，我们已经看到，对于两个随机变量，有
D?X?Y??DX?DY?2E??X?EX??Y?EY??
如果两个随机变量相互独立，则D?X?Y??DX?DY，这意味着如果两个随机变量相互独立，一定有E??X?EX??Y?EY???0。也就是说，如果当E??X?EX??Y?EY???0，X与Y不相互独立，而是存在一定的关系。显然，这个表达式可以反应两个随机变量的某种关系。为此，我们有如下定义
定义：量E??X?EX??Y?EY??称为随机变量X与Y的协方差。记为Cov?X,Y?，即 Cov?X,Y??E??X?EX??Y?EY?? 而 ?XY?称为随机变量X与Y的相关系数。 ?XY是一个无量纲的量。
由定义可以知道，Cov?X,Y??Cov?Y,X?;Cov?X,X??DX，并且有
Cov?X,Y?DXDY
D?X?Y??DX?DY?2Cov?X,Y?
将Cov?X,Y?按定义展开，容易得到
Cov?X,Y??E?XY??EX?EY 我们常常利用这个公式计算协方差。 协方差具有下述性质：
（1）Cov?aX,bY??abCov?X,Y?，其中a,b是常数 （推导） （2）Cov?X1?X2,Y??Cov?X1,Y??Cov?X2,Y? （推导）
下面我们讨论相关系数?XY的性质，并说明其含义。为此，考虑以X的线性函数a?bX来近似线性表示Y。其近似的好坏程度我们以均方误差
e?E?Y??a?bX???EY2?b2EX2?a2?2bE?XY??2abEX?2aEY
2来衡量以a?bX近似表示。e值越小表示近似程度越好。这样我们就取a,b使e最小。为
3
此，将e分别关于a,b求偏导数，并令其为零，得到
?e?2a?2bEX?2EY?0 ?a?e?2bEX2?2E?XY??2aEX?0 ?bCov?X,Y?Cov?X,Y?解得 b0?； a0?EY?b0EX?EY?EX，将其代入得到
DXDXminE?Y??a?bX???E?Y??a0?b0X???1??2XYDY
22a,b??由此有以下定理
定理：（1）?XY?1
（2）?XY?1的充要条件是存在常数a,b使P{Y?a?bX}?1 证明：（1）略
（2）若?XY?1，则有E?Y??a0?b0X???0，从而
2E?Y??a0?b0X???D?Y??a0?b0X????E?Y??a0?b0X????0
22故有D?Y??a0?b0X???0；?E?Y??a0?b0X????0 由方差性质，可知P{Y?a0?b0X}?1
反之，若存在常数a?,b?，使P{Y?a??b?X}?1，于是P{[Y?a??b?X]?0}?1，即E?Y??a??b?X???0，故有
222220?E?Y??a??b?X???minE?Y??a?bX???1??XYDY
a,b??得到 ?XY?1 证毕。 由e?minE?Y??a?bX???1??2XYDY可知，e是?XY的严格单调减函数，这
2a,b??样?XY的关系就清楚了。当?XY较大时，e较小，表明X，Y的线性关系比较紧密。特别当
?XY?1时，可知X，Y之间以概率1存在线性关系。于是?XY是一个可以用来表征X，Y
之间线性关系紧密程度的灵。当?XY较大时，我们说X，Y线性相关程度较好；反之，就说X，Y线性相关程度较差。
当?XY?0时，称X，Y不相关。
假设X，Y的相关系数存在，当X，Y相互独立时，可以知道Cov?X,Y??0，从而?XY?0，
4
即X，Y不相关。反之，若X，Y不相关，X，Y却不一定相互独立。这是因为不相关只是就线性关系来说的，而相互独立是就一般关系（包括线性和非线性关系）而言的。 （以图说明）
但是对于正态分布而言，二者是等价的。回忆二维正态随机变量?X,Y?，其概率密度为
f?x,y??12??1?22??x??1??y??2?2????1??x??1??exp??2??? ??2222?1?2?2???1???21????1???现在求X，Y的相关系数，可以得到?XY??，而我们已经知道X，Y相互独立的充分必要条件是??0。所以对二维正态随机变量来说，X，Y不相关与X，Y相互独立是等价的。
例1 设W??aX?3Y?，EX?EY?0，DX?4,DY?16,2???0.5。求常数a使
EW最小，并求EW的最小值。
解：EW?EaX?6aXY?9Y22?222??a2EX2?6aE?XY??9EY2
2222由DX?EX??EX??EX?4；DY?EY??EY??EY?16
Cov?X,Y??E?XY??EX?EY?E?XY???DXDY??4
所以EW?4a?24a?144，为求极值关于a求导并另导数为0，有8a?24?0 从而得到a?3，此时EW?108
例2 设?X,Y?服从二维正态分布，且有DX??X，DY??Y，证明当a??X?Y222222时随机变量W?X?aY,V?X?aY相互独立。
证：由正态随机向量的性质，可知X和Y服从正态分布，并进一步有W和V也都服从正态分布，因此，W和V相互独立的充分必要条件为相关系数为0，即协方差为0。 Cov?W,V??Cov?X?aY,X?aY??EX?aY22?2??[?EX?2?a2?EY?]
222?DX?a2DY??X?a2?Y?0（由条件）
作业：P132 31、32、36
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概率论与数理统计第14讲 6.1
