所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题12 选修系列 第84练
不等式选讲练习 理
训练目标 理解不等式的解法及证明方法． 训练题型 (1)绝对值不等式的解法；(2)不等式的证明；(3)柯西不等式的应用． 解题策略 (1)掌握不等式的基本性质；(2)理解绝对值的几何意义；(3)了解柯西不等式的几种形式. 1≥2y＋3.
x2－2xy＋y2
1．(2016·苏北四市一模)设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋
2．(2016·南京、盐城二模)已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，求证：(1＋x)(1＋y)(1＋
z)≥8.
3．(2016·常州一模)已知a＞0，b＞0，证明：(a＋b＋ab)·(ab＋ab＋1)≥9ab.
4．(2016·南通模拟)已知：a≥2，x∈R. 求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
11123
5．(2016·泰州一模)已知正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：2＋4＋6≥27.
2
2
2
2
22
abc
6．(2016·苏、锡、常、镇四市二模)已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x，若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a的取值范围．
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
答案精析
1．证明 由题意得x＞0，y＞0，x－y＞0， 因为2x＋
1
x2
－2xy＋y2
－2y
＝2(x－y)＋
1x－y2
＝(x－y)＋(x－y)＋
1x－y2
3≥3 x－y2
1x－y2
＝3，
所以2x＋1
x2
－2xy＋y2
≥2y＋3.
2．证明 因为x为正数，所以1＋x≥2x， 同理，1＋y≥2y，1＋z≥2z，
所以(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥2x·2y·2z＝8xyz＝8，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立． 3．证明 因为a＞0，b＞0，
所以a2＋b2
＋ab≥33a2·b2·ab＝3ab＞0，
ab2＋a2b＋1≥33
ab2·a2b·1＝3ab＞0，
所以(a2
＋b2
＋ab)(ab2
＋a2
b＋1)≥9a2b2
， 当且仅当a＝b＝1时等号成立． 4．证明 因为|m|＋|n|≥|m－n|，
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|＝|2a－1|. 又a≥2，故|2a－1|≥3. 所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
5．证明 因为正实数a，b，c满足a＋b2
＋c3
＝1， 所以1≥33ab2c3，即ab2c3
≤127
，
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 2
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
所以
1
ab2c3
≥27，
1
1
1
3
因此1
a2＋b4＋c6≥3
a2b4c6
≥27.
6．解 存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a，
f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x
＝3×x＋2＋1×14－x， 因为(3×x＋2＋1×14－x)2
≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，
所以f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x≤8， 当且仅当x＝10时取“＝”， 故常数a的取值范围是(－∞，8)．
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 3
(新)江苏专用2018版高考数学专题复习专题12选修系列第84练不等式选讲练习理
