专题2.4 幂函数与二次函数
【考试要求】
123
1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x，y＝x，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；
x2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义
一般地，形如y＝x的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象
α
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质
函数 图象 (抛物线) 定义域 2
2
y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) R 1
值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 ?4ac－b，＋∞? ?4a???bx＝－ 2a2?－∞，4ac－b? ??4a??2?－b，4ac－b? ?2a?4a??当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 在?－∞，－?上是减函数； 2a??在?－，＋∞?上是增函数 ?2a?2??b?单调性 在?－∞，－?上是增函数； 2a??在?－，＋∞?上是减函数 ?2a???b?b?b?【微点提醒】
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
???a>0，?a<0，
2.若f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，则当?时恒有f(x)>0，当?时，恒有f(x)<0.
??Δ<0Δ<0??
2
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
1
(1)函数y＝2x3是幂函数.( )
(2)当n>0时，幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数.( ) (3)二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.( )
4ac－b(4)二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
4a2
2
2
n【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
1
【解析】 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝x，故y＝2x3不是幂函数，(1)错. (3)由于当b＝0时，y＝ax＋bx＋c＝ax＋c为偶函数，故(3)错.
2
bb4ac－b(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.
2a2a4a2
2
α
【教材衍化】
2??1α
2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·x的图象过点?，?，则k＋α＝( )
?22?1A. 2【答案】 C
B.1
3C. 2
D.2
2
22??1?1?α
【解析】 因为f(x)＝k·x是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点?，?，所以??＝，所以α
2?2??22?113
＝，所以k＋α＝1＋＝. 222
3.(必修1P44A9改编)若函数f(x)＝4x－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是________. 【答案】 (－∞，－8]∪[16，＋∞)
【解析】 由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝，所以要使f(x)在[－1，2]上是单调函数，则有
8
2
α
kk≤－1或≥2，即k≤－8或k≥16. 88【真题体验】
4
2
1
k4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝23，b＝33，c＝253，则( ) A.b 4 2 2 2 2 B.a 【解析】 因为a＝23＝43，b＝33，c＝53又y＝x3在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b. 5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是( ) A.f(x)＝x－2x＋1 C.f(x)＝2 【答案】 A 【解析】 由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝≠0.只有选项A中，f(x)＝x－2x＋1关于x＝1对称. 26.(2019·菏泽检测)幂函数f(x)＝(m－4m＋4)·x【答案】 1 ?m－4m＋4＝1，? 【解析】 由题意知?2解得m＝1. ?m－6m＋8>0，? 2 2 2 B.f(x)＝x－1 D.f(x)＝2x＋1 2 x a2 m－6m＋8 2 在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________. 【考点聚焦】 考点一 幂函数的图象和性质 【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( ) 3
2020届高考数学一轮第二篇函数及其性质专题.幂函数与二次函数练习
