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微积分基本知识
第一章、 极限与连续
一、 数列的极限 1． 数列 定义：
按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 x1,,xn, 叫数列，记作?xn?，并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列
的第n项或通项 界的概念：
一个数列?xn?，若?M?0，s..t对?n?N*，都有xn?M，则称?xn?是有界的： 若不论M有多大，总?m?N*，s..txm?M，则称?xn?是无界的 若a?xn?b，则a称为xn的下界，b称为xn的上界
?xn?有界的充要条件：?xn?既有上界，又有下界
2． 数列极限的概念 定义：
设?xn?为一个数列，a为一个常数，若对???0，总?N,s..t当n?N时，有
xn?a?? 则称a是数列?xn?的极限，记作limxn?a或xn?a(n??)
n??数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义：
从第N?1项开始，?xn?的所有项全部落在点a的?邻域(a??,a??)
3． 数列极限的性质
①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系?数列大小关系（n?N时） 二、 函数的极限 1.定义：两种情形
①x?x0：设f(x)在点x0处的某去心邻域有定义，A为常数，若对???0，???0，
s..t当0?x?x0??时，恒有f(x)?A??成立， 则称f(x)在x?x0时有极限A
记作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0)
x?x0几何意义：对???0，???0，s..t当0?x?x0??时，f(x)介于两直线y?A??
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单侧极限：设f(x)在点x0处的右侧某邻域有定义，A为常数，若对???0，???0，
s..t当0?x?x0??时，恒有f(x)?A??成立，称f(x)在x0处有右极限A，
?f(x)?A 记作lim或f(x)?A0?x?x0x?x0??)?f(x0)=A limf(x)?A的充要条件为：f(x0垂直渐近线：当limf(x)??时，x?x0为f(x)在x0处的渐近线
x?x0②x??：设函数f(x)在x?b?0上有定义，A为常数，若对???0，?X?b,s..t当x?X时，有f(x)?A??成立，则称f(x)在x??时有极限A，记作
limf(x)?A或f(x)?A(x??)
x??limf(x)?A的充要条件为：limf(x)?limf(x)?A
x??x???x???水平渐进线： 若limf(x)?A或limf(x)?A，则y?A是f(x)的水平渐近线
x???x???2.函数极限的性质：
①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当0?x?x0??时成立） 三、 极限的运算法则
1． 四则运算法则
设f(x)、g(x)的极限存在，limf(x)?A,limg(x)?B则 ①limf(x)?g(x)?A?B ②lim[f(x)g(x)]?AB ③limf(x)A? （当B?0时） g(x)B④limcf(x)?cA （c为常数） ⑤lim[f(x)]k?Ak （k为正整数） 2． 复合运算法则
设y?f[?(x)]，若lim?(x)?a，则limf[?(x)]?f(a)
x?x0x?x0可以写成limf[?(x)]?f[lim?(x)] （换元法基础）
x?x0x?x0四、极限存在准则及两个重要极限
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1．极限存在准则 ①夹逼准则
设有三个数列?xn?，?yn?，?zn?，满足
yn?xn?zn ， limyn?limzn?a 则limxn?a
n??n??n??②单调有界准则 有界数列必有极限 3． 重要极限
1sinx?1?①lim?1 ②lim?1???e 或lim?1?x?x?e x?0x?0x??x?x?x五、无穷大与无穷小 1．无穷小：
在自变量某个变化过程中limf(x)?0，则称f(x)为x在该变化过程中的无穷小 ※ 若f(x)?0，则f(x)为x在所有变化过程中的无穷小
若f(x)??，则f(x)不是无穷小 性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小
4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小
定理：limf(x)?A的充要条件是f(x)?A??(x)，其中?(x)为x在该变化中过程中的无穷小
无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)
???(x),???(x)，为同一变化过程中的无穷小
若lim??c（c?0常数） 则?是?的同阶无穷小 （当c?1时为等价无穷小） ???c（c?0常数） 则?是?的k阶无穷小 k?若lim若lim??0 则?是?的高阶无穷小 ?sinxtanxarcsinxarctanxln(1?x)ex?1；
常用等价无穷小：(x?0)x1?cosxx2；(1??x)??1??x；ax?1xlna 2.. .
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2．无穷大：
设函数f(x)在x0的某去心邻域有定义。若对于?M?0，???0s..t当0?x?x0??时，恒有f(x)?M
称f(x)当x?x0时为无穷大，记作limf(x)??
x?x01??无穷大为无穷小??limf(x)??定理：limf(x)? ? （下：趋于某点，去心邻域不为0）
1?无穷小为无穷大???limf(x)??※ 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定
六、连续函数 1．定义
设函数y?f(x)在x0某邻域有定义，若对???0，???0s..t当0?x?x0??时，恒有： f(x)?f(x0)??
也可记作 limf(x)?f(x0) 或 lim?y?0
x?x0?x?0??f(x0)?f(x0)（或f(x0)?f(x0)）为左（或右）连续
2．函数的间断点
?左右极限相等，该处无定义可去间断点第一类间断点：左右极限存在?
左右极限不等跳跃间断点?第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等
3.连续函数的运算
若函数f(x)与g(x)都在x处连续，则函数
f(x)?g(x)，f(x)g(x)，
f(x) （g(x)?0） g(x)定理：y?f[g(x)]，g(x0)?u0，若g(x)在x0处连续，f(g)在u0处连续，则
y?f[g(x)]在x0处连续
4． 闭区间连续函数的性质
① 最值定理：f(x)在[a,b]上连续， 则?x1,x2，对一切x?[a,b]有
.. .
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f(x1)?f(x)?f(x2)
②介值定理：f(x)在[a,b]上连续，对于f(a)与f(b)之间的任何数u，至少?一点?，
s..tf(?)?u
第二章、 导数
一、导数的概念
定义：设函数y?f(x)在点x0的某邻域有定义，如果极限 lim?x?0f(x0??x)?f(x0) 存在，则称函数y?f(x)在点
?xx0可导，极限值为函数y?f(x)在点x0处的导数，记为f'(x0)
单侧导数：设函数y?f(x)在点x0处的左侧(x0??,x0]有定义，若极限 lim??x?0f(x0??x)?f(x0) 存在，则称此极限为函数
?xy?f(x)在点x0处的左导数，记为f?'(x0)，类似有右导数f?'(x0)
导函数：函数y?f(x)在某区间上可导，则 f'(x)?lim?x?0f(x??x)?f(x)
?x性质：①函数y?f(x)在点x0处可导的充要条件f?'(x0)?f?'(x0) ②可导?连续
导数的几何意义： 函数点处的切线斜率 二、求导法则
1．函数的和、差、积、商的求导法则
定理：若u?u(x),v?v(x)都在x处可导，则函数u(x)?v(x)在x处也可导，且 [u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)
定理：若u?u(x),v?v(x)都在x处可导，则函数u(x)v(x)在x处也可导，且 [u(x)v(x)]'?u'v?uv' 推论：若u1,,un都在x处可导，则函数u1u2un在x处也可导，且
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