(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则
A?1,0,0?,B0,3,0,C?1,3,0,P?0,0,1?。
uuuvuuvuuuvAB?(?1,3,0),PB?(0,3,?1),BC?(?1,0,0)…………………………………………7分
????uuur??n?AB?0,设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则?uur
??n?PB?0, 即 ?x?3y?03y?z?0
因此可取n=(3,1,3)……………………………9分
uur??m?PB?0,设平面PBC的法向量为m,则 ? uuur??m?BC?0,可取m=(0,-1,?3) cosm,n??427……………………………11分 ??727故二面角A-PB-C的余弦值为 ?(19)解(本小题满分12分)
27…………………………………………………………12分 7(Ⅰ)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质的平率为
22?8=0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率100的估计值为0.3。…………………………………………………………3分
由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为
32?10?0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的100估计值为0.42 …………………………………………………………6分
(Ⅱ)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间?90,94?,?94,102?,?102,110?的频率分别为0.04,,054, 0.42,因此
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, ………………………8分 即X的分布列为
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68………………………………………………12分 (20)解:(本小题满分12分)
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
uuuruuuruuur所以MA=(-x,-1-y), MB=(0,-3-y), AB=(x,-2). …………………………………………3分
uuuruuuruuur再由题意可知(MA+MB)?AB=0, 即(-x,-4-2y)?(x,-2)=0.
12x-2. …………………………………………………………6分 4111(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C:y=x2-2上一点,因为y'=x,所以l的斜率为x0
42212因此直线l的方程为y?y0?x0(x?x0),即x0x?2y?2y0?x0?0。………………………9分
2所以曲线C的方程式为y=则O点到l的距离d?2|2y0?x0|2x0?4.又y0?12x0?2,所以 412x0?41422d??(x0?4?)?2,
22x0?42x0?4当x0=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2. …………………………………………………12分 (21)解:(本小题满分12分)
2?((Ⅰ)f'(x)?x?1?lnx)bx?…………………………………………………………3分
(x?1)2x2
?f(1)?1,1?由于直线x?2y?3?0的斜率为?,且过点(1,1),故?1即
2f'(1)??,??2?b?1,??a1
?b??,??22
解得a?1,b?1。………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)?lnx1?,所以 x?1x
lnxk1(k?1)(x2?1)f(x)?(?)?(2lnx?)。 2x?1x1?xx(k?1)(x2?1)考虑函数h(x)?2lnx? (x?0),则
x(k?1)(x2?1)?2xh'(x)?。………………………………………8分
x2k(x2?1)?(x?1)2( I )设k?0,由h'(x)?知,当x?1时,h'(x)?0。而h(1)?0,故 2x当x?(0,1)时,h(x)?0,可得
1h(x)?0; 1?x21当x?(1,+?)时,h(x)<0,可得 h(x)>0 21?xlnxklnxk+)>0,即f(x)>+.……………………9分 x?1xx?1x1'( ii )设0
1?k11h(1)=0,故当x?(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。……………10分
1?k1?x21'(iii)设k?1.此时h(x)>0,而h(1)=0,故当x?(1,+?)时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛21?x从而当x>0,且x?1时,f(x)-(
盾。 …………………………………………………………11分
综合得,k的取值范围为(-?,0] …………………………………………………………12分 (22)(本小题满分10分)解:
(I)连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中, AD×AB=mn=AE×AC, 2分 即
ADAE.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ?ACAB因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。………………………………5分
(Ⅱ)m=4, n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
故 AD=2,AB=12. …………………………………………………………8分
取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH,因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.
由于∠A=900,故GH∥AB, HF∥AC. 从而HF=AG=5,DF=
1(12-2)=5. 2故C,B,D,E四点所在圆的半径为52…………………………………………………………10分 (23)(本小题满分10分)解:
(I)设P(x,y),则由条件知M(
xy,).由于M点在C1上,所以 22?x??2cosa,???2??? 即 ?y?2?2sina????2?从而C2的参数方程为
?x?4cosa??? …………………3分 ?y?4?4sina??x?4cos?(?为参数) ………………………………………………5分 ??y?4?4sin?(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为??4sin?,曲线C2的极坐标方程为??8sin?。 射线???3与C1的交点A的极径为?1?4sin?3,………………………………………………7分
射线???3与C2的交点B的极径为?2?8sin?3。………………………………………………9分
所以|AB|?|?2??1|?23. …………………………………………………………10分 (24)(本小题满分10分)解:
(Ⅰ)当a?1时,f(x)?3x?2可化为|x?1|?2。 由此可得 x?3或x??1。
故不等式f(x)?3x?2的解集为{x|x?3或x??1}。………………………………………5分 (Ⅱ) 由f(x)?0 得 x?a?3x?0 此不等式化为不等式组
?x?a?x?a 或? ?x?a?3x?0a?x?3x?0???x?a?x?a????aa即 x? 或x?? ???4?2因为a?0,所以不等式组的解集为?x|x??由题设可得?a2?
a= ?1,故a?2 …………………………………………………………10分 2