2020版高考理科数学（人教版）一轮复习课时跟踪检测（五十六）+直线和椭圆的位置关系+Word
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课时跟踪检测（五十六） 直线与椭圆的位置关系
一、题点全面练
x2y2
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x＋y＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝94
2
2
1的交点个数是( )
A．至多为1 C．1
解析：选B 由题意知
4m2＋n2
＞2，即B．2 D．0
m2＋n2＜2，
x2y2
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.
94
1
2．中心为原点，一个焦点为F(0,52)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，2则该椭圆的方程是( )
2x22y2
A.＋＝1 7525x2y2
C.＋＝1 2575
x2y2
B.＋＝1 75252x22y2
D.＋＝1 2575
x2y2
解析：选C 由题设知c＝52，设椭圆方程为2＋2＝1，联立方程
a－50a
??
?y＝3x－2，
y2
＋2＝1，a2－50a
x2
消去y，整理得
(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，
12?a2－50?x2y2
2
由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a＝75，所以椭圆方程为＋＝1. 2257510a－450x22
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
4A．2 410C.
5
45B. 5810D.
5
解析：选C 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t， x??4＋y2＝1，由?消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， ??y＝x＋t，
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4?t2－1?8
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
55∴|AB|＝＝
1＋k2|x1－x2|
1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2
＝2· ＝
?－8t?2－4×4?t－1? ?5?5
2
42
·5－t2， 5
410
. 5
当t＝0时，|AB|max＝
x22―→―→―→
4．设F1，F2分别是椭圆＋y＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OP＋OF2)·PF2
4＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( )
A．4 C．2
B.3 D．1
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选D ∵(OP＋OF2)·PF2＝(OP－OF1)·PF2＝F1P·PF2＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2
＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝(m＋n)2－m2－n2＝4，mn＝2，∴
1
＝mn＝1. 2
x2y2
5.过椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为k的直线交
ab1
椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若＜k
31
＜，则椭圆C的离心率的取值范围是( ) 2
13?A.??4，4? 12?C.??2，3?
2
，1? B.??3?10，? D.??2?
a2－c2a2－c211
解析：选C 由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，于是k＝.又＜k＜，所以
2a?a＋c?3
222
1a－c111－e112＜＜，化简可得＜＜，从而可得＜e＜，选C. 3a?a＋c?231＋e223
6．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为__________．
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x2y2
解析：设椭圆C的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与
abb23222
椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以a＝，b＝a－c，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
2x2y2
椭圆的方程为＋＝1.
43
x2y2
答案：＋＝1
43
x22
7．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设
2直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为__________．
2
解析：过点M(－2,0)的直线m的方程为y－0＝k1(x＋2)，代入椭圆方程化简得(2k21＋1)x
?－4k212k1?2－2＝0，所以x＋x＝，＋8k2x＋8k，所以点P?2?，直线OP的斜率k2＝1112
2＋122k＋12k2k1＋11?1?
－
11
，所以k1k2＝－. 2k121答案：－
2
1
8．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线y＝
2x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为__________．
x2y2
解析：设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1,0)
abn－01
关于直线y＝x的对称点为(m，n)，可得＝－2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为
2m－1
－8k21
??m＋1n?n1m＋11
??，且中点在直线y＝2x上，所以有2＝2×2③，联立②③，解得??2，2??
3
m＝，5
4n＝，
5
即
34?91694
，，代入椭圆方程可得2＋2＝1④，联立①④，解得a2＝，b2＝，所以椭对称点为??55?25a25b555x25y2
圆方程为＋＝1.
94
5x25y2
答案：＋＝1
94
9．(2019·长春监测)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E(1)求椭圆C的方程；
?3，3?.
2??
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―→―→
(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1＝2F1B，求直线l的斜率k的值．
2a＝|EF|＋|EF|＝4，??
解：(1)由?a＝b＋c，
??c＝1，
1
2
2
2
2
a＝2，??解得?c＝1，
??b＝3，
x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，
??y＝k?x＋1?，36
＋4?y2－y－9＝0， 联立?x2y2整理得?2?k?k
＋＝1，??43
144Δ＝2＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
k－9k26k
则y1＋y2＝，y1y2＝，
3＋4k23＋4k2―→―→
又AF1＝2F1B，所以y1＝－2y2， 所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8， 55
解得k＝±，又k＞0，所以k＝.
22
x2y2
10．(2018·成都模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，长半轴与短
ab半轴的比值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．
a
解：(1)由题可知c＝3，＝2，a2＝b2＋c2，
b∴a＝2，b＝1.
x22
∴椭圆C的方程为＋y＝1.
4
(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．当直线l的斜率存在且
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不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
??x＝my＋1，联立?x2消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.
2
??4＋y＝1，
Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝
，y1y2＝.
4＋m24＋m2－2m
－3
∵点B在以MN为直径的圆上， ―→―→
∴BM·BN＝0.
―→―→∵BM·BN＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0， ∴(m2＋1)·
－2m
＋(m－1)·＋2＝0， 4＋m24＋m2－3
5
整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝.
3∴直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
x2y2
1．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，
168―→―→―→
O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且F1M·MP＝0，则|OM|的取值范围是( )
A．[0,3) C．[22，3)
B．(0,22) D．(0,4]
解析：选B 如图，延长F1M交PF2的延长线于点G. ―→―→―→―→
∵F1M·MP＝0，∴F1M⊥MP. 又MP为∠F1PF2的平分线， ∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点． 1
∵O为F1F2的中点，∴OM綊F2G.
2∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||， ―→1
∴|OM|＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.
2
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